東北大学 2024年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第6問

(1)
点$Q$は $$Q=(\cos \theta ,\sin \theta ,0)$$ であり，頂点は$P=(0,0,1)$である。線分$PQ$の長さは $$PQ=\sqrt{{\cos }^2\theta +{\sin }^2\theta +1}=\sqrt{2}$$ である。

線分$PQ$上で，$P$からの距離が$r$である点は，$P$から$Q$へ向かう単位ベクトルを用いて $P+\frac{r}{\sqrt{2}}(Q-P)$ と表せる。したがってその座標は$$(\frac{r}{\sqrt{2}}\cos \theta ,\frac{r}{\sqrt{2}}\sin \theta ,1-\frac{r}{\sqrt{2}})$$である。この点が平面$H:z=x$上にあるための条件は $$1-\frac{r}{\sqrt{2}}=\frac{r}{\sqrt{2}}\cos \theta$$ である。よって $$1=\frac{r}{\sqrt{2}}(1+\cos \theta )$$ となり，$$r(\theta )=\frac{\sqrt{2}}{1+\cos \theta }$$ である。

(2)
円錐$K$の母線の長さは，頂点$P$から底面円上の点までの距離なので$\sqrt{2}$である。側面を展開すると，半径$\sqrt{2}$の扇形になる。底面円の弧長は角度$d\theta$に対して$d\theta$であり，展開図上では半径$\sqrt{2}$の扇形の弧長に等しいから，展開図上の角度$d\varphi$は $$\sqrt{2}d\varphi =d\theta ,d\varphi =\frac{d\theta }{\sqrt{2}}$$ を満たす。

したがって，展開図で曲線$E$の半径が$r(\theta )$で表されるとき，$A$から角度$\theta$までの部分の面積は$$S(\theta )=\frac{1}{2}{\int }_{-\frac{\pi }{2}}^{\theta }r(u{)}^{2}d\varphi =\frac{1}{2\sqrt{2}}{\int }_{-\frac{\pi }{2}}^{\theta }r(u{)}^{2}du$$である。

$0\leqq \theta <\theta +h\leqq \frac{\pi }{2}$とする。この区間では$\cos u$は減少するので，$1+\cos u$ も減少し，$$r(u)=\frac{\sqrt{2}}{1+\cos u}$$ は増加する。よって$\theta \leqq u\leqq \theta +h$では $$r(\theta )\leqq r(u)\leqq r(\theta +h)$$ である。これを2乗して積分すると$$\frac{1}{2\sqrt{2}}hr(\theta {)}^2\leqq S(\theta +h)-S(\theta )\leqq \frac{1}{2\sqrt{2}}hr(\theta +h{)}^2$$である。すなわち$$\frac{h}{2\sqrt{2}}r(\theta {)}^2\leqq S(\theta +h)-S(\theta )\leqq \frac{h}{2\sqrt{2}}r(\theta +h{)}^2$$である。

(3)
求める部分$T$は，展開図で$-\frac{\pi }{2}\leqq \theta \leqq \frac{\pi }{2}$に対応する半径$\sqrt{2}$の扇形から，曲線$E$の内側の部分を引いた面積である。したがって$$T=\frac{1}{2\sqrt{2}}{\int }_{-\frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}}\{(\sqrt{2}{)}^2-r(\theta {)}^2\}d\theta$$である。(1)より $$r(\theta {)}^2=\frac{2}{(1+\cos \theta {)}^2}$$ だから，$$T=\frac{1}{2\sqrt{2}}\{2\pi -{\int }_{-\frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}}\frac{2}{(1+\cos \theta {)}^2}d\theta \}$$である。

残る積分を計算する。$u=\tan \frac{\theta }{2}$とおくと $$\cos \theta =\frac{1-u^2}{1+u^2},d\theta =\frac{2}{1+u^2}du$$ であり，$\theta =-\frac{\pi }{2}$から$\frac{\pi }{2}$まで動くと，$u$は$-1$から$1$まで動く。また $$1+\cos \theta =1+\frac{1-u^2}{1+u^2}=\frac{2}{1+u^2}$$ である。よって$$\begin{array}{rl}{\displaystyle {\int }_{-\frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}}\frac{2}{(1+\cos \theta {)}^2}d\theta }& {\displaystyle ={\int }_{-1}^1\frac{2}{{\left(\frac{2}{1+u^2}\right)}^2}\cdot \frac{2}{1+u^2}du}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\int }_{-1}^1(1+u^2)du}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={[u+\frac{u^3}{3}]}_{-1}^1}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\frac{8}{3}}\end{array}$$である。したがって$$T=\frac{1}{2\sqrt{2}}(2\pi -\frac{8}{3})=\frac{3\pi -4}{3\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}(3\pi -4)}{6}$$である。

【円錐側面の展開図】

底面円の角度差 $d\theta$ は、展開図では $d\varphi =d\theta \mathrm{/}\sqrt{2}$ に対応する。赤い曲線の動径が $r(\theta )$ である。