Evolton
方針
2つの球面の中心間距離を求め，半径の和と差の間にあることから交わりが円になることを確認する。交円の中心は上にあるので，からの距離をとして，2つの直角三角形の関係からと円の半径を求める。平面はに垂直である。(3)は成分0かつ法線ベクトルに垂直な単位ベクトルを解く。(4)は円上で座標の絶対値を最大にする問題に直し，鉛直方向を平面へ正射影した方向に半径1だけ進む。
解答
(1) である。したがって である。
(2)
2つの球面の半径はとであり，中心間距離は3である。ここで が成り立つ。したがって2つの球面は交わりをもち，片方が他方に接するだけではないので，交わりは円となる。
この円の中心は，中心を結ぶ直線上にある。，円の半径をとおくと，よりである。円上の点を1つとれば，その点とを結ぶ線分はに垂直であるから， が成り立つ。2式を引くと であり， を得る。よって であるから，円の半径は1である。
また，はからへ向かって距離2だけ進んだ点である。の長さは3なので， である。したがって である。
(3)
平面は円を含む平面であり，中心線に垂直である。したがっての法線ベクトルとして をとれる。
求めるベクトルは平面に平行なので，成分を0として と書ける。またに平行であるから であり， を満たす。大きさが1なので である。を代入して より である。したがって求めるベクトルはである。
(4)
点は，中心，半径1の円上を動く。と平面との距離はであるから，円上で座標の絶対値を最大にすればよい。
平面上で，座標を最も小さくする向きは，鉛直下向きのベクトル を平面に正射影した向きである。，で， だから，射影ベクトルはである。その長さは なので，平面上の単位ベクトルとしてを得る。
円の半径は1だから，この方向にから1だけ進む点が座標を最も小さくする点である。よってである。最後の座標を整理すると である。反対向きに進むと座標はとなり，絶対値はこれより小さい。したがって距離の最大値は であり，そのときの点はである。
【中心を通る断面】
赤い弦を空間内で回したものが交円 であり、その平面は に垂直である。
別解
別解（コーシーの不等式で高さを最適化）
方針
(1) 〜(3)で得た中心と平面を用い、 と置く。円上の条件 と平面条件 から、コーシーの不等式で の上限と等号条件を同時に求める。
解答
(1) 中心間距離は3である。
(2) 中心線上で となるので、交円の半径は1、中心はである。
(3) 交円の平面の法線は であり、 平面にも平行な単位ベクトルはである。
(4) 円上の点をとおく。半径が1で、円の平面に平行な変位なのでを満たす。コーシーの不等式からであり、 を得る。 の高さは なので、 平面からの距離の最大値はである。
最大距離には変位の 成分が でなければならない。等号条件より は に比例し、 と合わせるとしたがってである。
総評
【公式出題意図・講評との対応】 2球面の交わりとして現れる傾いた円を、空間図形とベクトルで考察する問題である。公式講評では(1)(2)は比較的良好だったが、(2)で三角形の存在条件を片側しか確認しない答案があり、(3)以降は空間認識の不足から正答率が下がった。本解説は の両側を確認し、断面図と平面の法線を対応させた。
難度6、計算量6、想定時間24分。標準解は鉛直方向の平面への正射影、別解はコーシーの不等式で高さの上限と等号条件を同時に得る。
【独立検算】 求めた が2球面の双方に属すること、変位が法線 と直交すること、、距離が になることを厳密計算で確認した。