東北大学 2025年度 後期日程 第2次学力試験文系（後期）数学 第1問

(1) ユークリッドの互除法より$$\begin{array}{rl}{\displaystyle 31243}& {\displaystyle =17711+13532,}\\ {\displaystyle 17711}& {\displaystyle =13532+4179,}\\ {\displaystyle 13532}& {\displaystyle =3\cdot 4179+995,}\\ {\displaystyle 4179}& {\displaystyle =4\cdot 995+199,}\\ {\displaystyle 995}& {\displaystyle =5\cdot 199.}\end{array}$$したがって，d=199である。

(2) 方程式を199で割ると$$157x+89y=1.$$$157=89+68$，$89=68+21$，$68=3\cdot 21+5$，$21=4\cdot 5+1$より$$\begin{array}{rl}{\displaystyle 1}& {\displaystyle =13\cdot 21-4\cdot 68}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =13\cdot 89-17\cdot 68}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =30\cdot 89-17\cdot 157.}\end{array}$$よって$(x,y)=(-17,30)$は整数解である。
任意の整数解との差を取ると$$157(x+17)+89(y-30)=0.$$$157$と$89$は互いに素なので，$x+17$は89の倍数である。したがって$$x=-17+89t,y=30-157t$$と書ける。ただし$t$は整数である。逆に，これらはすべて方程式を満たす。
この表示を使うと$2x+y=21t-4$であり，$$-400\le 21t-4\le 400$$は$$-\frac{396}{21}\le t\le \frac{404}{21}$$と同値である。整数$t$の範囲は$-18\le t\le 19$となる。
異なる$t$には異なる組$(x,y)$が対応するから，求める総数は$$19-(-18)+1=38.$$

絶対値の中の整数を先に数える。

$y=u-2x$を方程式に代入すると$$-21x+89u=1.$$$x$が整数となる条件は$89u\equiv 1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}21)$である。
$89\equiv 5(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}21)$，$5\cdot 17\equiv 1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}21)$より$$u\equiv 17\equiv -4(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}21)\mathrm{.}$$逆にこの条件を満たす整数$u$から$$x=\frac{89u-1}{21},y=u-2x$$を作れば，整数解が一つ定まる。
$-400\le u\le 400$に入る値は$-382,-361,\dots ,395$で，総数は$$\frac{395-(-382)}{21}+1=38$$となる。

絶対値の中の式を新しい整数にすると，条件付きの整数解を等差数列として数えられる。