東北大学 2026年度 後期日程 第2次学力試験理系（後期）数学 第4問

(1) $r=p\mathrm{/}q$と表す。ただし$p$は整数，$q$は正の整数で，$p,q$は互いに素とする。
$r^2=k\in \mathbb{Z}$なら$p^2=k{q}^2$である。
もし$q>1$なら，$q$の素因数は$p^2$，したがって$p$も割り切り，互いに素であることに反する。
よって$q=1$，すなわち$r$は整数である。

(2) 二本目の式は$(x^2-n{)}^2=0$だから$$n=x^2\mathrm{.}$$$n$は整数，$x$は有理数なので，(1)より$x$は整数。
条件(i)から$n\mathrm{\ne }0$であり，一本目の式は$$y^2=2x^3\mathrm{.}\text{(1)}$$ゆえに$x>0$。また(1)より$y$も整数である。

素数$p$が$x$に指数$e\ge 1$で含まれるとする。
$n=x^2$が$p^3$で割り切れないので$2e<3$，したがって$e=1$である。
もし$p$が奇素数なら，(1)の右辺における$p$の指数は3であり，左辺が平方数であることに反する。
よって$x$の素因数は2だけで，その指数も高々1だから$x=1$または2。

$x=1$では$y^2=2$となり，整数$y$は存在しない。
$x=2$では$y^2=16$より$y=\pm 4$，$n=4$となる。
逆に$n=4$は条件(i)を満たし，$(x,y)=(2,\pm 4)$は$(\ast )$を満たす。
したがって$$n=4,(x,y)=(2,4),(2,-4)\mathrm{.}$$

主解と異なる見方による補足。

$x$は正の整数で，どの素数の平方でも割り切れない。
$y^2=2x^3$から$x\mid y^2$であり，$x$の各素因数は$y$を割り切る。したがって$x\mid y$である。
$y=xt$（$t$は整数）とおくと$$t^2=2x\mathrm{.}$$$x$が奇数なら，右辺における2の指数が1なので平方数にならない。
$x=2u$（$u$は奇数）と書くと$t^2=4u$であり，$t$は偶数だから$(t\mathrm{/}2{)}^2=u$となる。
$u$は平方因子をもたない平方数なので$u=1$。
よって$x=2$を得る。

「$x\mid y^2$だから$x\mid y$」は一般には成り立たない。
ここでは$x$が平方因子をもたないことを先に確かめているため，使える。