東北大学 2020年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第3問

(1)

$n=3$ のとき$$2^3+3^2+8=25<27=3^3$$である。ある $n\geqq 3$ で$$2^n+n^2+8<3^n$$が成り立つと仮定する。このとき$$\begin{array}{rl}{\displaystyle }& {\displaystyle 3^{n+1}-\{2^{n+1}+(n+1{)}^2+8\}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle >3(2^n+n^2+8)-2^{n+1}-(n+1{)}^2-8}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =2^n+2n^2-2n+15>0.}\end{array}$$よって $n+1$ でも不等式が成り立つ。数学的帰納法により、すべての $n\geqq 3$ で$$2^n+n^2+8<3^n$$である。

(2)

$n=1,2$ ではそれぞれ$$11\geqq 3,16\geqq 9$$である。(1) より $n\geqq 3$ は不適なので、$$n=1,2$$である。

(3)

与式を$$an+b=2^n+n^2+8-3^n$$と書く。$a,b$ は0以上の整数なので左辺は非負である。したがって(2)より $n=1,2$ だけを調べればよい。

$n=1$ のとき $a+b=8$ だから$$(a,b,n)=(j,8-j,1)(j=0,1,\dots ,8)\mathrm{.}$$$n=2$ のとき $2a+b=7$ だから$$(a,b,n)=(0,7,2),(1,5,2),(2,3,2),(3,1,2)\mathrm{.}$$以上がすべてである。

差 $d_n=3^n-2^n-n^2-8$ を置く。さらに $d_{n+1}-d_n$ の正値性を補助数列で確認し、$d_3>0$ から $n\geqq 3$ を一括して処理する。残りの小問は $n=1,2$ の有限確認に帰着する。

(1) $$d_n=3^n-2^n-n^2-8$$とおく。$d_3=2>0$ である。また$$d_{n+1}-d_n=2\cdot 3^n-2^n-2n-1$$である。右辺を $E_n$ とおくと$$E_3=39>0,E_{n+1}-E_n=4\cdot 3^n-2^n-2>0$$である。最後の不等式は $n\geqq 3$ で明らかであるから、$E_n>0$、したがって $d_n$ は $n\geqq 3$ で増加する。よって$$d_n\geqq d_3>0,$$すなわち$$2^n+n^2+8<3^n$$である。

(2)

直接計算すると $n=1,2$ は条件を満たし、(1) より $n\geqq 3$ は満たさない。よって$$n=1,2.$$(3)

$an+b\geqq 0$ なので$$2^n+n^2+8-3^n\geqq 0$$が必要である。(2) より $n=1,2$ だけである。したがって$$\begin{array}{rl}{\displaystyle n=1}& {\displaystyle :a+b=8,}\\ {\displaystyle n=2}& {\displaystyle :2a+b=7.}\end{array}$$非負整数解を列挙して$$(a,b,n)=(j,8-j,1)(j=0,\dots ,8),$$$$(a,b,n)=(0,7,2),(1,5,2),(2,3,2),(3,1,2)$$を得る。