東北大学 2025年度 後期日程 第2次学力試験文系（後期）数学 第2問

(1) $P_1$は黒である。$n=2$では$P_2$に黒以外の4色を使えるので$a_2=4$。
$n=3$では$P_2$が4通り，$P_3$が$P_1,P_2$と異なる3通りなので$a_3=12$である。

一般に，$P_1$を黒とし，順に隣り合う色を異ならせた並びは$4^{n-1}$通りある。
最後が黒以外の並びは$a_n$通りであり，最後が黒の並びは$$b_n=4^{n-1}-a_n$$通りである。黒以外で終わる並びからは3通り，黒で終わる並びからは4通りの方法で，最後を黒以外にして扇形を一つ加えられる。
したがって$n\ge 2$に対して$$a_{n+1}=3a_n+4b_n=4^n-a_n\mathrm{.}\text{(1)}$$これより$a_4=64-12=52$，$a_5=256-52=204$。
よって$$a_2=4,a_3=12,a_4=52,a_5=204.$$(2) (1)から$$a_{n+1}-\frac{4^{n+1}}{5}=-(a_n-\frac{4^n}{5})\mathrm{.}$$$a_2-4^2\mathrm{/}5=4\mathrm{/}5$なので，等比数列の一般項より$$a_n-\frac{4^n}{5}=\frac{4}{5}(-1{)}^{n-2}\mathrm{.}$$したがって$$a_n=\frac{4^n+4(-1{)}^n}{5}(n\ge 2)\mathrm{.}$$

最後の色が黒である並びを除く。

$n\ge 3$とする。最初を黒に固定した，隣り合う色が異なる並びは$4^{n-1}$通りある。
このうち$P_n$も黒である並びを除けばよい。
$P_n$が黒であるとき，$P_n$を取り除いた$P_1,\dots ,P_{n-1}$は円盤の正しい塗り分けになる。
逆に，その塗り分けの最後に黒を加えれば，除くべき並びが一つ定まる。
したがって，除く並びは$a_{n-1}$通りであり，$$a_n=4^{n-1}-a_{n-1}\mathrm{.}$$繰り返し代入し，$a_2=4$を使うと$$a_n=4^{n-1}-4^{n-2}+\cdots +(-1{)}^{n-2}4=\frac{4^n+4(-1{)}^n}{5}\mathrm{.}$$最後と最初の色が同じ場合を引く方法は，扇形の数を一つ減らした円盤との対応を示すと説明しやすい。