問題
を整数とする。
(1) が3の倍数でないならば，が6の倍数であることを示せ。
(2) が奇数ならば，が8の倍数であることを示せ。
(3) が24の倍数でないならば，が偶数であることを示せ。
出典：東北大学 2020年度 後期日程 第2次学力試験 後期・理系 後期 第2問
方針
解法1（連続整数の倍数性と対偶を使う方法）
(1) は3で割った余りと連続2整数の偶奇を組み合わせる。(2) は連続する2偶数の一方が4の倍数であることを使う。(3) は対偶を取り、(2) の8の因子と連続3整数の3の因子を合わせる。
解法2（合同式で余りを整理する方法）
(1) は法3と法2、(2) は法8で奇数の4通りを確認する。(3) は直接扱いにくい否定命題なので対偶にし、合同式で と を示す。
解答
解法1（連続整数の倍数性と対偶を使う方法）
(1)
が3の倍数でないなら、 を3で割った余りは1または2である。余りが1なら 、余りが2なら が3の倍数である。また は連続する2整数なので、一方は偶数である。したがって
は2の倍数かつ3の倍数である。2と3は互いに素だから6の倍数である。
(2)
が奇数なら は連続する2つの偶数である。このうち一方は4の倍数、もう一方も2の倍数だから、
は8の倍数である。
(3)
対偶を示す。 が奇数であると仮定する。(2) より は8の倍数である。また は連続する3整数なので、いずれか1つは3の倍数である。よって
は8の倍数かつ3の倍数、したがって24の倍数である。対偶が成り立ったので、もとの命題も成り立つ。
解法2（合同式で余りを整理する方法）
(1)
なら
である。前者では 、後者では だから、
さらに の一方は偶数なので である。よって 。
(2)
奇数 の法8での余りは である。それぞれ
となるので、積はすべて0 modulo 8、すなわち8の倍数である。
(3)
対偶を考え を奇数とする。(2) より
また連続する3整数 の法3の余りは順序を除いて なので、
だから積は24の倍数である。したがって対偶、ひいてはもとの命題が示された。