東北大学 2020年度 後期日程 第2次学力試験理系（後期）数学 第2問

(1)

$m$ が3の倍数でないなら、$m$ を3で割った余りは1または2である。余りが1なら $m+2$、余りが2なら $m+1$ が3の倍数である。また $m+1,m+2$ は連続する2整数なので、一方は偶数である。したがって$$(m+1)(m+2)$$は2の倍数かつ3の倍数である。2と3は互いに素だから6の倍数である。

(2)

$m$ が奇数なら $m+1,m+3$ は連続する2つの偶数である。このうち一方は4の倍数、もう一方も2の倍数だから、$$(m+1)(m+3)$$は8の倍数である。

(3)

対偶を示す。$m$ が奇数であると仮定する。(2) より $(m+1)(m+3)$ は8の倍数である。また $m+1,m+2,m+3$ は連続する3整数なので、いずれか1つは3の倍数である。よって$$(m+1)(m+2)(m+3)$$は8の倍数かつ3の倍数、したがって24の倍数である。対偶が成り立ったので、もとの命題も成り立つ。

(1) は法3と法2、(2) は法8で奇数の4通りを確認する。(3) は直接扱いにくい否定命題なので対偶にし、合同式で $8\mid (m+1)(m+3)$ と $3\mid (m+1)(m+2)(m+3)$ を示す。

(1)

$m\equiv ̸0(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}3)$ なら$$m\equiv 1\text{ または }2(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}3)$$である。前者では $m+2\equiv 0(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}3)$、後者では $m+1\equiv 0(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}3)$ だから、$$3\mid (m+1)(m+2)\mathrm{.}$$さらに $m+1,m+2$ の一方は偶数なので $2\mid (m+1)(m+2)$ である。よって $6\mid (m+1)(m+2)$。

(2)

奇数 $m$ の法8での余りは $1,3,5,7$ である。それぞれ$$(m+1,m+3)\equiv (2,4),(4,6),(6,0),(0,2)(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}8)$$となるので、積はすべて0 modulo 8、すなわち8の倍数である。

(3)

対偶を考え $m$ を奇数とする。(2) より$$8\mid (m+1)(m+3)\mathrm{.}$$また連続する3整数 $m+1,m+2,m+3$ の法3の余りは順序を除いて $0,1,2$ なので、$$3\mid (m+1)(m+2)(m+3)\mathrm{.}$$$\gcd (8,3)=1$ だから積は24の倍数である。したがって対偶、ひいてはもとの命題が示された。