問題
を実数とし，関数を次のように定める。
このとき，以下の問いに答えよ。
(1) 関数が極大値をもつようなのとり得る値の範囲を求めよ。
(2) 関数がで極大値をもつようなのとり得る値の範囲を求めよ。
方針
解法1（導関数の根の配置と符号変化）
まず と因数分解する。極大値をもつかどうかは，導関数がどこかで から に変わるかで判定する。2次式 の判別式，根の符号，および例外 を分けて符号表を作る。(2) は なので， 近くで に掛かる係数 が負なら極大，0以上なら極大でないと判定する。
解法2（極値条件を局所展開で確認）
(1) は の判別式と根の符号を表で整理する。(2) は 近傍の最低次項 を見て判定し、境界 だけを三次項で別に調べる。
解答
解法1（導関数の根の配置と符号変化）
(1)
より である。ここで とおく。 の判別式を とすると である。したがって が異なる2つの実数解をもつのは すなわち のときである。
まず のとき， である。したがって の符号は基本的に の符号と同じであり， では から に変わるか，符号を変えない。よって極大値は生じない。
次に のときを考える。このとき ，2つの根の和は ，積は であるから， の2つの根はいずれも負である。小さい方から とすると， は で負，その外で正である。 では だから， は の前後で から に変わる。よって極大値をもつ。
次に のときを考える。ここでは は異なる2つの実数解をもつ。さらに の場合は である。このとき では符号が変わらず， では から に変わるので，極大値をもたない。
一方， かつ のときは，次のように符号変化が生じる。 なら なので， の左側で ，右側で となり， で極大となる。 なら で， の2根はいずれも正であるため，小さい方の根で が から に変わる。よって極大値をもつ。
以上より，求める範囲は である。
場合分けを表にまとめると次のようになる。
ここで各行の条件は「かつ」で結ばれ、極大が存在する行どうしは「または」で結ばれる。
(2)
である。 での値は である。 の近くでは，中括弧の中は に近い。
もし なら， に十分近い について となる。したがって となり， で極大値をもつ。
もし なら， の近くで中括弧の中は正であり， となるので極大ではない。また のとき であり， で に近いとき となるので，やはり極大ではない。
したがって求める範囲は である。
解法2（極値条件を局所展開で確認）
(1)
とおく。 が相異なる2実根をもつ条件は
である。根の和は 、積は なので、 では2根は異符号、 では2根はともに正、 では2根はともに負である。 の符号も合わせると、それぞれ 、正の小さい根、負の大きい根で が正から負へ変わる。
ただし では
となり、 では符号が変わらず、 では負から正へ変わるだけなので極大はない。したがって
である。
(2)
である。 なら括弧内は の近くで負なので、 に対して となり極大である。 なら逆に正となり極小側なので極大ではない。
境界 では
で0に十分近いと だから極大ではない。よって
である。これは で を判定し、境界だけ直接確認する方法と同じ結論である。