東北大学 2025年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第3問

(1) $$f(x)=x^4+\frac{4a}{3}{x}^3+(a+2)x^2$$ より $$f^{\mathrm{\prime }}(x)=4x^3+4a{x}^2+2(a+2)x=2x\{2x^2+2ax+a+2\}$$ である。ここで $h(x)=2x^2+2ax+a+2$ とおく。$h(x)$ の判別式を $D$ とすると $$D=(2a{)}^2-4\cdot 2(a+2)=4(a^2-2a-4)$$ である。したがって $h(x)$ が異なる2つの実数解をもつのは $a^2-2a-4>0$ すなわち $$a<1-\sqrt{5},1+\sqrt{5}<a$$ のときである。

まず $$1-\sqrt{5}\leqq a\leqq 1+\sqrt{5}$$ のとき，$h(x)\geqq 0$ である。したがって $f^{\mathrm{\prime }}(x)=2xh(x)$ の符号は基本的に $x$ の符号と同じであり，$x=0$ では $-$ から $+$ に変わるか，符号を変えない。よって極大値は生じない。

次に $a>1+\sqrt{5}$ のときを考える。このとき $a+2>0$，2つの根の和は $-a<0$，積は $(a+2)\mathrm{/}2>0$ であるから，$h(x)=0$ の2つの根はいずれも負である。小さい方から $r_1<r_2<0$ とすると，$h(x)$ は $(r_1,r_2)$ で負，その外で正である。$x<0$ では $2x<0$ だから，$f^{\mathrm{\prime }}(x)$ は $r_2$ の前後で $+$ から $-$ に変わる。よって極大値をもつ。

次に $a<1-\sqrt{5}$ のときを考える。ここでは $h(x)$ は異なる2つの実数解をもつ。さらに $a=-2$ の場合は $$f^{\mathrm{\prime }}(x)=2x(2x^2-4x)=4x^2(x-2)$$ である。このとき $x=0$ では符号が変わらず，$x=2$ では $-$ から $+$ に変わるので，極大値をもたない。

一方，$a<1-\sqrt{5}$ かつ $a\mathrm{\ne }-2$ のときは，次のように符号変化が生じる。$a<-2$ なら $h(0)=a+2<0$ なので，$x=0$ の左側で $f^{\mathrm{\prime }}(x)>0$，右側で $f^{\mathrm{\prime }}(x)<0$ となり，$x=0$ で極大となる。$-2<a<1-\sqrt{5}$ なら $h(0)=a+2>0$ で，$h(x)=0$ の2根はいずれも正であるため，小さい方の根で $f^{\mathrm{\prime }}(x)$ が $+$ から $-$ に変わる。よって極大値をもつ。

以上より，求める範囲は $$a<1-\sqrt{5}(a\mathrm{\ne }-2),1+\sqrt{5}<a$$ である。

場合分けを表にまとめると次のようになる。$$\begin{array}{ccc}a\text{ の範囲}& h(x)=0\text{ の根の配置}& \text{極大の有無}\\ a<-2& \text{負と正に1根ずつ}& x=0\text{ で極大}\\ a=-2& 0,2\text{（ただし }0\text{ は重複）}& \text{なし}\\ -2<a<1-\sqrt{5}& \text{正の2根}& \text{小さい根で極大}\\ 1-\sqrt{5}\leqq a\leqq 1+\sqrt{5}& \text{相異なる2実根なし}& \text{なし}\\ 1+\sqrt{5}<a& \text{負の2根}& \text{大きい根で極大}\end{array}$$ここで各行の条件は「かつ」で結ばれ、極大が存在する行どうしは「または」で結ばれる。

(2) $$f(x)=x^2\{x^2+\frac{4a}{3}x+a+2\}$$ である。$x=0$ での値は $f(0)=0$ である。$x=0$ の近くでは，中括弧の中は $a+2$ に近い。

もし $a+2<0$ なら，$x=0$ に十分近い $x\mathrm{\ne }0$ について $$x^2+\frac{4a}{3}x+a+2<0$$ となる。したがって $f(x)<0=f(0)$ となり，$x=0$ で極大値をもつ。

もし $a+2>0$ なら，$x=0$ の近くで中括弧の中は正であり，$f(x)>0=f(0)$ となるので極大ではない。また $a=-2$ のとき $$f(x)=x^4-\frac{8}{3}{x}^3=x^3(x-\frac{8}{3})$$ であり，$x<0$ で $x=0$ に近いとき $f(x)>0=f(0)$ となるので，やはり極大ではない。

したがって求める範囲は $a<-2$ である。

(1) は $f^{\mathrm{\prime }}(x)=2xh(x)$ の判別式と根の符号を表で整理する。(2) は $x=0$ 近傍の最低次項 $x^2(a+2)$ を見て判定し、境界 $a=-2$ だけを三次項で別に調べる。

(1) $$f^{\mathrm{\prime }}(x)=2x\{2x^2+2ax+a+2\}=2xh(x)$$とおく。$h$ が相異なる2実根をもつ条件は$$a<1-\sqrt{5}\text{または}a>1+\sqrt{5}$$である。根の和は $-a$、積は $(a+2)\mathrm{/}2$ なので、$a<-2$ では2根は異符号、$-2<a<1-\sqrt{5}$ では2根はともに正、$a>1+\sqrt{5}$ では2根はともに負である。$2x$ の符号も合わせると、それぞれ $x=0$、正の小さい根、負の大きい根で $f^{\mathrm{\prime }}$ が正から負へ変わる。

ただし $a=-2$ では$$f^{\mathrm{\prime }}(x)=4x^2(x-2)$$となり、$x=0$ では符号が変わらず、$x=2$ では負から正へ変わるだけなので極大はない。したがって$$a<1-\sqrt{5}(a\mathrm{\ne }-2)\text{または}a>1+\sqrt{5}$$である。

(2) $$f(x)=x^2(a+2+\frac{4a}{3}x+x^2)$$である。$a<-2$ なら括弧内は $x=0$ の近くで負なので、$x\mathrm{\ne }0$ に対して $f(x)<f(0)=0$ となり極大である。$a>-2$ なら逆に正となり極小側なので極大ではない。

境界 $a=-2$ では$$f(x)=x^3(x-\frac{8}{3})\mathrm{.}$$$x<0$ で0に十分近いと $f(x)>0=f(0)$ だから極大ではない。よって$$a<-2$$である。これは $f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(0)=2(a+2)$ で $a\mathrm{\ne }-2$ を判定し、境界だけ直接確認する方法と同じ結論である。