東北大学 2025年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第6問

(1)
正五角形を順に $A,B,C,D,E$ とし、対角線 $AC,BE$ の交点を $F$ とする。位置関係は次の図のようになる。

対角線の長さを $d$ とする。正五角形の内角は ${108}^{\circ }$ で、二等辺三角形 $ABC$、$ABE$ の底角はともに ${36}^{\circ }$ である。この角度から $\mathrm{△}ABC$ と $\mathrm{△}AFB$ は相似である。また $\mathrm{△}BCF$ では $$\mathrm{\angle }CBF=\mathrm{\angle }BFC={72}^{\circ }$$ なので、これらの対辺は等しく $CF=BC=1$ である。したがって$$AF=AC-CF=d-1.$$相似比より$$\frac{AC}{AB}=\frac{AB}{AF},\frac{d}{1}=\frac{1}{d-1}\mathrm{.}$$よって $d(d-1)=1$、すなわち$$d^2-d-1=0.$$$d>0$ なので$$d=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$$である。

(2)
正五角形の外接円の中心を $O$、内接円の半径を $\rho$ とする。中心と辺の中点を結ぶ直角三角形で中心角の半分 ${36}^{\circ }$ を用いると$$\frac{1}{2}=\rho \tan {36}^{\circ },\rho =\frac{1}{2\tan {36}^{\circ }}$$である。

正五角形 $P$ は、中心から距離 $\rho$ にある5本の辺の内側の共通部分である。$P_{\theta }$ も同じ5本を $\theta$ だけ回したものである。例えば $\theta ={36}^{\circ }$ では次のように辺の方向が交互に並ぶ。

$0^{\circ }<\theta <{72}^{\circ }$ では10本の外向き法線方向が交互に並び、隣り合う方向の角度差は$$\theta ,{72}^{\circ }-\theta ,\theta ,{72}^{\circ }-\theta ,\dots$$となる。中心から距離 $\rho$ にある1辺について、左右の隣の法線との角度差を $u,v$ とすると、垂線の足から両端までの長さはそれぞれ $\rho \tan (u\mathrm{/}2)$、$\rho \tan (v\mathrm{/}2)$ である。したがって各辺の長さは$$\rho \{\tan \frac{u}{2}+\tan \frac{v}{2}\}\mathrm{.}$$今回の10辺では $u,v$ が $\theta ,{72}^{\circ }-\theta$ の組なので$$l_{\theta }=10\rho \{\tan \frac{\theta }{2}+\tan \frac{{72}^{\circ }-\theta }{2}\}\mathrm{.}$$$$u=\frac{\theta }{2},v=\frac{{72}^{\circ }-\theta }{2}$$とおけば $u+v={36}^{\circ }$ である。加法定理より$$\tan u+\tan v=\frac{\sin {36}^{\circ }}{\cos u\cos v}\mathrm{.}$$また$$\cos u\cos v=\frac{\cos {36}^{\circ }+\cos (u-v)}{2}\leqq \frac{\cos {36}^{\circ }+1}{2}\mathrm{.}$$したがって$$\tan u+\tan v\geqq 2\tan {18}^{\circ },$$等号は $u=v={18}^{\circ }$、すなわち $\theta ={36}^{\circ }$ のときに成り立つ。よって$$l_{\theta }\geqq 20\rho \tan {18}^{\circ }=10\frac{\tan {18}^{\circ }}{\tan {36}^{\circ }}\mathrm{.}$$(1) の対角線は、外接円の弦の長さの比から $d=2\cos {36}^{\circ }$ でもある。したがって$$\cos {36}^{\circ }=\frac{1+\sqrt{5}}{4}\mathrm{.}$$さらに$$\frac{\tan {36}^{\circ }}{\tan {18}^{\circ }}=\frac{2\sin {18}^{\circ }\cos {18}^{\circ }\cos {18}^{\circ }}{\cos {36}^{\circ }\sin {18}^{\circ }}=\frac{2{\cos }^2{18}^{\circ }}{\cos {36}^{\circ }}=\frac{1+\cos {36}^{\circ }}{\cos {36}^{\circ }}=\sqrt{5}\mathrm{.}$$ゆえに$$l_{\theta }\geqq \frac{10}{\sqrt{5}}=2\sqrt{5}\mathrm{.}$$等号を与える $\theta ={36}^{\circ }$ は指定範囲内にあるので、最小値は$$2\sqrt{5}$$である。