東北大学 2025年度理系数学第6問解答・解説

問題

1辺の長さが1の正五角形を $K$ とする。このとき，以下の問いに答えよ。

(1) $K$ の対角線の長さを求めよ。

(2) $K$ の周で囲まれた図形を $P$ とする。また， $P$ を $K$ の外接円の中心の周りに各 $θ$ だけ回転して得られる図形を $P_{θ}$ とする。 $P$ と $P_{θ}$ の共通部分の周の長さを $l_{θ}$ とする。 $θ$ が $0^{\circ} < θ < 72^{\circ}$ の範囲を動くとき， $l_{θ}$ の最小値が $25$ であることを示せ。

出典：東北大学 2025年度前期日程第2次学力試験理系第6問

方針

(1) は正五角形に2本の対角線を引き、相似から対角線 $d$ が $d (d - 1) = 1$ を満たすことを丁寧に導く。(2) は2つの正五角形を中心から同距離 $ρ$ にある10本の支持直線として捉え、隣り合う法線角の差から共通部分の各辺長と周長を表し、対称な回転角で最小になることを示す。

解答

(1)

正五角形を順に $A, B, C, D, E$ とし、対角線 $A C, B E$ の交点を $F$ とする。位置関係は次の図のようになる。

対角線の長さを $d$ とする。正五角形の内角は $10 8^{\circ}$ で、二等辺三角形 $A B C$ 、 $A B E$ の底角はともに $3 6^{\circ}$ である。この角度から $△ A B C$ と $△ A F B$ は相似である。また $△ B C F$ では $∠ C B F = ∠ B F C = 7 2^{\circ}$ なので、これらの対辺は等しく $C F = B C = 1$ である。したがって

A F = A C - C F = d - 1.

相似比より

\frac{A C}{A B} = \frac{A B}{A F}, \frac{d}{1} = \frac{1}{d - 1} .

よって $d (d - 1) = 1$ 、すなわち

d^{2} - d - 1 = 0.

$d > 0$ なので

d = \frac{1 + 5}{2}

である。

(2)

正五角形の外接円の中心を $O$ 、内接円の半径を $ρ$ とする。中心と辺の中点を結ぶ直角三角形で中心角の半分 $3 6^{\circ}$ を用いると

\frac{1}{2} = ρ tan 3 6^{\circ}, ρ = \frac{1}{2 tan 3 6 ^{\circ}}

である。

正五角形 $P$ は、中心から距離 $ρ$ にある5本の辺の内側の共通部分である。 $P_{θ}$ も同じ5本を $θ$ だけ回したものである。例えば $θ = 3 6^{\circ}$ では次のように辺の方向が交互に並ぶ。

$0^{\circ} < θ < 7 2^{\circ}$ では10本の外向き法線方向が交互に並び、隣り合う方向の角度差は

θ, 7 2^{\circ} - θ, θ, 7 2^{\circ} - θ, \dots

となる。中心から距離 $ρ$ にある1辺について、左右の隣の法線との角度差を $u, v$ とすると、垂線の足から両端までの長さはそれぞれ $ρ tan (u /2)$ 、 $ρ tan (v /2)$ である。したがって各辺の長さは

ρ {tan \frac{u}{2} + tan \frac{v}{2}} .

今回の10辺では $u, v$ が $θ, 7 2^{\circ} - θ$ の組なので

l_{θ} = 10 ρ {tan \frac{θ}{2} + tan \frac{7 2 ^{\circ} - θ}{2}} .

u = \frac{θ}{2}, v = \frac{7 2 ^{\circ} - θ}{2}

とおけば $u + v = 3 6^{\circ}$ である。加法定理より

tan u + tan v = \frac{sin 3 6 ^{\circ}}{cos u cos v} .

また

cos u cos v = \frac{cos 3 6 ^{\circ} + cos ( u - v )}{2} ≦ \frac{cos 3 6 ^{\circ} + 1}{2} .

したがって

tan u + tan v ≧ 2 tan 1 8^{\circ},

等号は $u = v = 1 8^{\circ}$ 、すなわち $θ = 3 6^{\circ}$ のときに成り立つ。よって

l_{θ} ≧ 20 ρ tan 1 8^{\circ} = 10 \frac{tan 1 8 ^{\circ}}{tan 3 6 ^{\circ}} .

(1) の対角線は、外接円の弦の長さの比から $d = 2 cos 3 6^{\circ}$ でもある。したがって

cos 3 6^{\circ} = \frac{1 + 5}{4} .

さらに

\frac{tan 3 6 ^{\circ}}{tan 1 8 ^{\circ}} = \frac{2 sin 1 8 ^{\circ} cos 1 8 ^{\circ} cos 1 8 ^{\circ}}{cos 3 6 ^{\circ} sin 1 8 ^{\circ}} = \frac{2 cos ^{2} 1 8 ^{\circ}}{cos 3 6 ^{\circ}} = \frac{1 + cos 3 6 ^{\circ}}{cos 3 6 ^{\circ}} = 5 .

ゆえに

l_{θ} ≧ \frac{10}{5} = 25 .

等号を与える $θ = 3 6^{\circ}$ は指定範囲内にあるので、最小値は

25

である。

東北大学 2025年度理系数学 第6問

問題

方針

解答

(1)

(2)

東北大学 2025年度
理系数学第6問