東北大学 2025年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第4問

(1)
共有点の $x$ 座標を $x_0$ とする。$f(x)=n\log x$ であるから $x_0>0$ である。2つの曲線が共有点をもち，その点で接線が一致するので，値と微分係数がともに等しい。すなわち $n\log x_0=a{x}_0^n$ かつ $$\frac{n}{x_0}=an{x}_0^{n-1}$$ である。後者は $n>0$，$x_0>0$ より $1=a{x}_0^n$ と同値である。これを値の一致の式に代入すると $n\log x_0=1$ である。したがって $\log x_0=\frac{1}{n}$ より $x_0=e^{1\mathrm{/}n}$ である。さらに $a{x}_0^n=1$ だから $$a=\frac{1}{x_0^n}=\frac{1}{e}$$ である。よって $a=\frac{1}{e}$ である。

(2)
(1)より $g(x)=\frac{1}{e}{x}^n$ である。また $f(1)=n\log 1=0$ であり，2曲線の接点は $x=e^{1\mathrm{/}n}$ である。例えば $n=2$ のときの位置関係は次のようになる。

図の左側では $x$ 軸と $g$、右側では $g$ と $f$ の差を積分する。$0<x<1$ では $f(x)<0$，$g(x)>0$ なので，$x$ 軸と2曲線で囲まれる部分のうち左側は $g(x)$ と $x$ 軸で囲まれる。$1<x<e^{1\mathrm{/}n}$ では $g(x)\geqq f(x)$ となり，右側の部分は $g(x)-f(x)$ で表される。したがって $$S_n={\int }_0^{1}g(x)dx+{\int }_1^{e^{1\mathrm{/}n}}\{g(x)-f(x)\}dx$$ である。つまり $$S_n={\int }_0^{e^{1\mathrm{/}n}}\frac{1}{e}{x}^{n}dx-{\int }_1^{e^{1\mathrm{/}n}}n\log xdx$$ である。

まず$${\int }_0^{e^{1\mathrm{/}n}}\frac{1}{e}{x}^{n}dx=\frac{1}{e}{\left[\frac{x^{n+1}}{n+1}\right]}_0^{e^{1\mathrm{/}n}}=\frac{1}{e}\cdot \frac{e^{(n+1)\mathrm{/}n}}{n+1}=\frac{e^{1\mathrm{/}n}}{n+1}$$である。次に $$\int n\log xdx=n(x\log x-x)$$ だから$$\begin{array}{rl}{\displaystyle {\int }_1^{e^{1\mathrm{/}n}}n\log xdx}& {\displaystyle =n[x\log x-x{]}_1^{e^{1\mathrm{/}n}}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =n(e^{1\mathrm{/}n}\cdot \frac{1}{n}-e^{1\mathrm{/}n}+1)}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =n-(n-1)e^{1\mathrm{/}n}}\end{array}$$である。したがって$$\begin{array}{rl}{\displaystyle S_n}& {\displaystyle =\frac{e^{1\mathrm{/}n}}{n+1}-\{n-(n-1)e^{1\mathrm{/}n}\}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\frac{n^2{e}^{1\mathrm{/}n}}{n+1}-n}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\frac{n(n{e}^{1\mathrm{/}n}-n-1)}{n+1}}\end{array}$$である。

(3) $t=\frac{1}{n}$ とおくと，$n\to \mathrm{\infty }$ のとき $t\to +0$ である。(2) の式を $t$ で表すと $$S_n=\frac{1}{1+t}(\frac{e^t-1}{t}-1)$$ である。指数関数の微分係数の定義より $$\underset{t\to 0}{\lim }\frac{e^t-1}{t}=1$$ であるから $$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{S}_n=\frac{1}{1+0}(1-1)=0$$ である。