東北大学 2025年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第5問

(1)
点 $N(0,0,1)$ と点 $P(a,b,c)$ を通る直線 $l$ 上の点は，実数 $s$ を用いて $(0,0,1)+s(a,b,c-1)$ と表せる。点 $P\mathrm{\ne }N$ であり，また $P$ は球面上の点なので，$c=1$ なら $P=N$ となってしまう。したがって $c\mathrm{\ne }1$ である。 $xy$ 平面との交点では $z=0$ であるから $1+s(c-1)=0$ である。よって $s=\frac{1}{1-c}$ である。したがって $$Q=(\frac{a}{1-c},\frac{b}{1-c},0)$$ である。

球面を直線 $NP$ を含む平面で切った模式図は次のようになる。

(2)
直線 $m$ は点 $N(0,0,1)$ と点 $(p,q,0)$ を通る。よって直線上の点は，実数 $s$ を用いて $(sp,sq,1-s)$ と表せる。これが球面 $S:x^2+y^2+z^2=1$ 上にある条件は $(sp{)}^2+(sq{)}^2+(1-s{)}^2=1$ である。整理すると $s^2(p^2+q^2)+1-2s+s^2=1$ すなわち $s\{(p^2+q^2+1)s-2\}=0$ である。$s=0$ は点 $N$ に対応する。したがって点 $N$ 以外の交点では $$s=\frac{2}{p^2+q^2+1}$$ である。これを直線の式に代入して，求める交点は$$(\frac{2p}{p^2+q^2+1},\frac{2q}{p^2+q^2+1},\frac{p^2+q^2-1}{p^2+q^2+1})$$である。

(3)
平面 $\alpha$ は点 $(0,0,1\mathrm{/}2)$ を通り，法線ベクトルが $(3,4,5)$ である。したがってその方程式は $$3x+4y+5(z-\frac{1}{2})=0$$ すなわち $3x+4y+5z=\frac{5}{2}$ である。

点 $Q=(p,q,0)$ とする。(2) によれば，この $Q$ に対応する球面上の点 $P\mathrm{\ne }N$ は$$(\frac{2p}{p^2+q^2+1},\frac{2q}{p^2+q^2+1},\frac{p^2+q^2-1}{p^2+q^2+1})$$である。この点が平面 $\alpha$ 上にある条件は$$3\cdot \frac{2p}{p^2+q^2+1}+4\cdot \frac{2q}{p^2+q^2+1}+5\cdot \frac{p^2+q^2-1}{p^2+q^2+1}=\frac{5}{2}$$である。両辺に $2(p^2+q^2+1)$ を掛けると $$12p+16q+10(p^2+q^2-1)=5(p^2+q^2+1)$$ である。整理して $5(p^2+q^2)+12p+16q-15=0$ となる。両辺を5で割って平方完成すると $$p^2+q^2+\frac{12}{5}p+\frac{16}{5}q-3=0$$ すなわち $${(p+\frac{6}{5})}^2+{(q+\frac{8}{5})}^2=7$$ である。

よって点 $Q=(p,q,0)$ は，$xy$ 平面上の円$${(x+\frac{6}{5})}^2+{(y+\frac{8}{5})}^2=7,z=0$$の円周上を動く。

逆に、この円周上の任意の $(p,q,0)$ から (2) の式で定めた点 $P$ は球面 $S$ 上にあり、上の変形を逆にたどれば平面 $\alpha$ 上にもある。したがって得られた円周は必要条件にとどまらず、点 $Q$ の軌跡全体である。