問題
座標平面において，座標も座標も整数である点全体の集合上を移動する点Pがある。時刻0に点Pは原点Oにある。0以上の整数に対し，時刻tに点Pが点にあるとき，時刻での点Pの位置は4点
のいずれかであり，また，どの位置にある確率もである。以下の問いに答えよ。
(1) 時刻8に点Pが点にある確率を求めよ。
(2) 時刻8に点Pが双曲線上にある確率を求めよ。
(3) 時刻8に点Pが双曲線上にあるとき，時刻1，時刻2，…，時刻7のいずれかに点Pが点にある条件付き確率を求めよ。
方針
8回の移動後の座標は，右左上下の回数を とおくと ，， で表される。各到達点への経路数は多項係数 で数える。(1)は目的地 への経路数を直接求める。(2)は8歩で到達でき，かつ を満たす格子点を列挙して経路数を合計する。(3)は条件付き確率なので，(2)の経路のうち途中で を通るものを数える。8歩で双曲線に到達する途中で にいる時刻は6回目に限られる点を使う。
解答
各移動で右，左，上，下のいずれかに1だけ進む。8回の移動におけるそれぞれの回数を とすると， である。また，そのような回数の並べ方は 通りである。
(1)
最終位置が であるためには が必要である。， とおくと より である。したがって は である。
それぞれの経路数は
である。よって合計は 通りである。全事象は 通りなので，求める確率は である。
(2)
8歩後の点 は， で，かつ と8の偶奇が一致する点である。条件 は である。 とおくと， は同じ偶奇の整数で を満たす。奇偶の一致する因数の組は，順序を考えて とこれらをともに負にしたものだけである。 に戻すと，8歩で到達可能な候補は であり，いずれも を満たす。
(1)より， への経路数は784通りである。対称性により への経路数も784通りである。
次に への経路数を数える。条件は である。これより で，合計に代入すると すなわち である。したがって であり，経路数は 通りである。符号を変えた についても同じく56通りである。
したがって，双曲線上にある確率の分子は である。よって求める確率は である。
(3)
(2)で数えた1792通りの経路のうち，途中で点 を通るものを数える。点 までの最短歩数は である。また1歩ごとに座標和の偶奇が変わるので，この点にいる時刻は6と同じ偶奇でなければならない。したがって8歩以内では時刻6または8だけが考えられるが，時刻8で にいる場合は最終点が双曲線上でない。したがって，双曲線上で終わる経路が途中で を通るなら，時刻6で にいなければならない。
6歩目に に到達するには，右へ4回，上へ2回進むしかない。したがってその経路数は 通りである。
残り2歩で， から双曲線上の点に到達する可能性を調べる。(2)で得た候補のうち， から2歩で到達できるのは である。 へは下，下の1通りであり， へは右，上の順序を入れ替えて2通りである。したがって残り2歩の進み方は合計 通りである。
よって，双曲線上で終わり，かつ途中で を通る経路は 通りである。条件付き確率は であるから，求める値は である。