(1) −1≤x≤1 での式を p(x)=8x3−6x2+2 とおき，∣x∣>1 での式を q(x)=3x4+ax3+bx2+cx+d とおく。f(x) がすべての実数で微分可能であるためには，x=1 と x=−1 で値と導関数が一致しなければならない。
まず p(1)=8−6+2=4,p′(x)=24x2−12x,p′(1)=12 である。また p(−1)=−8−6+2=−12,p′(−1)=24+12=36 である。
一方，q′(x)=12x3+3ax2+2bx+c である。したがって接続条件は q(1)=p(1),q′(1)=p′(1),q(−1)=p(−1),q′(−1)=p′(−1) であり，具体的には⎩⎨⎧3+a+b+c+d=4,12+3a+2b+c=12,3−a+b−c+d=−12,−12+3a−2b+c=36である。整理すると⎩⎨⎧a+b+c+d=1,3a+2b+c=0,−a+b−c+d=−15,3a−2b+c=48となる。第2式と第4式の差をとると 4b=−48 だから b=−12 である。第2式より 3a−24+c=0 すなわち c=24−3a である。第1式と第3式の差をとると 2a+2c=16 だから a+c=8 である。ここに c=24−3a を代入して a+24−3a=8 より a=8,c=0 を得る。最後に第1式から 8−12+0+d=1 であるから d=5 である。よって a=8,b=−12,c=0,d=5 である。
(2) このとき外側の式は q(x)=3x4+8x3−12x2+5 である。最小値を求める。
まず −1≤x≤1 では p′(x)=24x2−12x=12x(2x−1) である。臨界点は x=0,x=21 であり，端点も含めて値を調べるとp(−1)=−12,p(0)=2,p(21)=8⋅81−6⋅41+2=23,p(1)=4である。したがって内側での最小値は −12 である。
次に ∣x∣>1 では q′(x)=12x3+24x2−24x=12x(x2+2x−2) である。方程式 q′(x)=0 の解は x=0,x=−1±3 である。このうち ∣x∣>1 に入るのは x=−1−3 だけである。さらに q′(x) は (−∞,−1−3) で負，(−1−3,−1) で正，(1,∞) で正である。したがって外側の左の区間では x=−1−3 が最小点であり，右の区間では単調増加である。
また，q(x)→∞ (x→±∞) であり，外側の区間で最小値の候補になるのは，つなぎ目の値とこの臨界点の値である。つなぎ目では q(1)=4,q(−1)=−12 である。r=3 とおき，x=−1−r とする。臨界点では x2+2x−2=0 だから x2=−2x+2 である。これを用いて高次の項を下げると，x3=x(−2x+2)=−2x2+2x=−2(−2x+2)+2x=6x−4 さらに x4=x(6x−4)=6x2−4x=6(−2x+2)−4x=−16x+12 である。したがって q(x)=3x4+8x3−12x2+5 に代入すると，q(x)=3(−16x+12)+8(6x−4)−12(−2x+2)+5 であり，q(x)=(−48x+36)+(48x−32)+(24x−24)+5=24x−15 となる。x=−1−3 なので q(−1−3)=24(−1−3)−15=−39−243 である。
これは −12 より小さい。よって f(x) の最小値は −39−243 であり，そのときの x は x=−1−3 である。
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