東北大 2026年度理系数学第6問｜問題・解答・解説

方針

ベクトルの等式 $\vec{O P} = a \vec{O A}$ ， $\vec{O Q} = b \vec{O B}$ から， $O, A, P$ が一直線上， $O, B, Q$ が一直線上にあることを読む。平面 $α$ は $A, B, P$ を通るので，まず $O$ がこの平面に含まれることを示せば，直線 $O B$ 上の点 $Q$ も平面 $α$ に含まれる。後半は，点 $O$ を原点とする球面の方程式を $∣ x ∣^{2} + u \cdot x + v = 0$ とおき，直線 $O A$ ， $O B$ との交点のパラメータを根と係数の関係で調べる。与えられた等式から $Q$ も球面上にあることを示し，直線 $C D$ と球面の交点が高々2点であることを使う。

解答

(1) 点 $O$ を基準にして， $\vec{O A} = A, \vec{O B} = B, \vec{O P} = P, \vec{O Q} = Q$ とおく。条件より $P = a A, Q = b B$ である。

まず $P = a A$ より，点 $O, A, P$ は一直線上にある。問題の条件で $A, B, C, D, O, P$ は相異なる点であるから， $A$ と $P$ は異なり，直線 $A P$ は確かに定まる。また， $O$ はこの直線 $A P$ 上にある。平面 $α$ は点 $A, B, P$ を通る平面なので，直線 $A P$ を含む。したがって $O \in α$ である。

さらに $B \in α$ であり， $O \in α$ であるから，直線 $O B$ は平面 $α$ に含まれる。ところが $Q = b B$ より，点 $Q$ は直線 $O B$ 上にある。したがって $Q \in α$ である。

(2) 点 $O$ を原点とみなして考える。球面 $S$ は，適当なベクトル $u$ と実数 $v$ を用いて $∣ x ∣^{2} + u \cdot x + v = 0$ と書ける。ただし， $x$ は点の位置ベクトルであり， $O$ が球面上にあるとは限らないので定数項 $v$ は残しておく。

直線 $O A$ 上の点は $x = t A$ と表せる。これを球面の方程式に代入すると $∣ A ∣^{2} t^{2} + (u \cdot A) t + v = 0$ である。この2次方程式の根は，直線 $O A$ と球面 $S$ との交点を表す。点 $A$ は $t = 1$ ，点 $P$ は $P = a A$ だから $t = a$ に対応する。したがって根は $1$ と $a$ である。なお $A \neq O$ なので $∣ A ∣^{2} > 0$ である。

根と係数の関係より $1 \cdot a = \frac{v}{∣ A ∣^{2}}$ であるから， $v = a ∣ A ∣^{2}$ を得る。

同様に，直線 $O B$ 上の点を $x = t B$ とおくと，球面との交点を表す方程式は $∣ B ∣^{2} t^{2} + (u \cdot B) t + v = 0$ である。点 $B$ は球面上にあり，また $B \neq O$ なので $∣ B ∣^{2} > 0$ である。よって $t = 1$ はこの2次方程式の根である。もう一つの根を $t = t_{0}$ とすると，根と係数の関係より $t_{0} = \frac{v}{∣ B ∣^{2}}$ である。

一方，問題の条件より $a ∣ \vec{O A} ∣^{2} = b ∣ \vec{O B} ∣^{2}$ であり，先ほど得た $v = a ∣ A ∣^{2}$ を用いると $v = b ∣ B ∣^{2}$ である。したがって $t_{0} = \frac{v}{∣ B ∣^{2}} = b$ である。つまり，直線 $O B$ と球面 $S$ との交点の一つは $t = b$ に対応する点であり，これは $Q = b B$ で表される点 $Q$ である。よって $Q \in S$ である。

ここで，問題の条件より $Q$ は直線 $C D$ 上にある。また， $C, D$ は球面 $S$ 上の相異なる点である。直線 $C D$ と球面 $S$ の交点は，高々2点である。すでに $C, D$ という2つの相異なる交点があるため，同じ直線 $C D$ 上で球面 $S$ に属する点 $Q$ は，そのどちらかと一致しなければならない。

したがって $Q = C または Q = D$ である。

総評

難易度は8/10で，理系では20〜25分を見込む完答者の少ない差がつく証明問題である。(1)は $\vec{O P} = a \vec{O A}$ から $O \in A P \subset α$ ，続いて $\vec{O Q} = b \vec{O B}$ から $Q \in O B \subset α$ と論理を一段ずつ積む。(2)は一般の球面方程式に直線 $O A, O B$ を代入し，交点を表す2次方程式の根の積を比較するのが核心である。球面が $O$ を通ると誤認して定数項を0にすること，結論 $Q \in α$ を仮定して書き始めること，直線と球面の交点が高々2点である理由を使わず結論へ飛ぶことが典型的な失点になる。時間がなければ(1)を確実に取り，(2)は $Q \in S$ を示すところまででも答案に残したい。

出典: 東北大学 2026年度前期数学（大学公式の問題PDF）。問題文はHTML表示のために再入力・数式組版しています。

東北大学 2026年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第6問

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東北大学 2026年度前期日程第2次学力試験理系数学第6問