東北大学 2026年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第5問

(1) 与えられた曲線は $$x=e^t\cos t,y=e^t\sin t$$ である。導関数は $$\frac{dx}{dt}=e^t\cos t-e^t\sin t=e^t(\cos t-\sin t)$$ および $$\frac{dy}{dt}=e^t\sin t+e^t\cos t=e^t(\sin t+\cos t)$$ である。縦接線は $dx\mathrm{/}dt=0$ となる点で生じるので，$\cos t-\sin t=0$ より $$t=\frac{\pi }{4}$$ である。このとき$$\frac{dy}{dt}=e^{\pi \mathrm{/}4}(\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}})=\sqrt{2}{e}^{\pi \mathrm{/}4}\mathrm{\ne }0$$であるから，確かに接線は縦である。

したがって，その接線 $l$ は $t=\pi \mathrm{/}4$ における $x$ 座標を用いて $$x=e^{\pi \mathrm{/}4}\cos \frac{\pi }{4}=\frac{e^{\pi \mathrm{/}4}}{\sqrt{2}}$$ すなわち $${\displaystyle l:x=\frac{e^{\pi \mathrm{/}4}}{\sqrt{2}}}$$ である。

(2) $$I=\int e^{\alpha t}\cos \beta tdt,J=\int e^{\alpha t}\sin \beta tdt$$とおく。問題の条件より $\beta >0$ である。

まず $I$ について，$\cos \beta t$ を積分する形で部分積分すると $$I=\frac{e^{\alpha t}\sin \beta t}{\beta }-\frac{\alpha }{\beta }J$$ である。すなわち $$\beta I+\alpha J=e^{\alpha t}\sin \beta t$$ である。

次に $J$ について，$\sin \beta t$ を積分する形で部分積分すると $$J=-\frac{e^{\alpha t}\cos \beta t}{\beta }+\frac{\alpha }{\beta }I$$ である。すなわち $$-\alpha I+\beta J=-e^{\alpha t}\cos \beta t$$ である。

この2本の連立方程式を解くと，$$({\alpha }^2+{\beta }^2)I=e^{\alpha t}(\alpha \cos \beta t+\beta \sin \beta t)$$および$$({\alpha }^2+{\beta }^2)J=e^{\alpha t}(\alpha \sin \beta t-\beta \cos \beta t)$$を得る。したがって$${\displaystyle I=\frac{e^{\alpha t}(\alpha \cos \beta t+\beta \sin \beta t)}{{\alpha }^2+{\beta }^2}+C_1}$$$${\displaystyle J=\frac{e^{\alpha t}(\alpha \sin \beta t-\beta \cos \beta t)}{{\alpha }^2+{\beta }^2}+C_2}$$である。

(3) 図形 $D$ の境界となる曲線部分は，$x$ 軸上の点 $(1,0)$ に対応する $t=0$ から，直線 $l$ との接点に対応する $t=\pi \mathrm{/}4$ までである。したがって $0\le t\le \pi \mathrm{/}4$ を用いる。この範囲では $$\frac{dx}{dt}=e^t(\cos t-\sin t)\ge 0$$ であるから，$x$ は増加する。$x$ 軸のまわりに回転してできる立体の体積 $V$ は $$V=\pi \int y^{2}dx$$ で与えられる。媒介変数 $t$ を用いると $$V=\pi {\int }_0^{\pi \mathrm{/}4}(e^t\sin t{)}^2{e}^t(\cos t-\sin t)dt$$ である。したがって $$V=\pi {\int }_0^{\pi \mathrm{/}4}{e}^{3t}{\sin }^{2}t(\cos t-\sin t)dt$$ である。

三角関数を積和の形に直す。まず $${\sin }^{2}t\cos t=\frac{1}{4}(\cos t-\cos 3t)$$ であり，$${\sin }^{3}t=\frac{1}{4}(3\sin t-\sin 3t)$$ である。よって $${\sin }^{2}t(\cos t-\sin t)=\frac{1}{4}(\cos t-3\sin t-\cos 3t+\sin 3t)$$ となる。

したがって，(2)の公式を $\alpha =3$，$\beta =1,3$ に対して用いればよい。計算をまとめると，$$\int e^{3t}{\sin }^{2}t(\cos t-\sin t)dt=\frac{e^{3t}}{4}(\frac{3\cos t-4\sin t}{5}-\frac{\cos 3t}{3})$$である。

これを $0$ から $\pi \mathrm{/}4$ まで代入する。$t=\pi \mathrm{/}4$ では$$\cos t=\sin t=\frac{1}{\sqrt{2}},\cos 3t=\cos \frac{3\pi }{4}=-\frac{1}{\sqrt{2}}$$であるから，$$\frac{e^{3\pi \mathrm{/}4}}{4}(\frac{3\mathrm{/}\sqrt{2}-4\mathrm{/}\sqrt{2}}{5}+\frac{1}{3\sqrt{2}})=\frac{e^{3\pi \mathrm{/}4}}{4}\cdot \frac{\sqrt{2}}{15}=\frac{\sqrt{2}{e}^{3\pi \mathrm{/}4}}{60}$$である。$t=0$ では $$\frac{1}{4}(\frac{3}{5}-\frac{1}{3})=\frac{1}{15}$$ である。したがって$${\int }_0^{\pi \mathrm{/}4}{e}^{3t}{\sin }^{2}t(\cos t-\sin t)dt=\frac{\sqrt{2}{e}^{3\pi \mathrm{/}4}}{60}-\frac{1}{15}=\frac{\sqrt{2}{e}^{3\pi \mathrm{/}4}-4}{60}$$である。

よって求める体積は $${\displaystyle V=\frac{\pi }{60}(\sqrt{2}{e}^{3\pi \mathrm{/}4}-4)}$$ である。