東北大学 2026年度
理系数学 第5問

解答

(1)

与えられた曲線は $x=e^t\cos t,y=e^t\sin t$ である。導関数は $\frac{dx}{dt}=e^t\cos t-e^t\sin t=e^t(\cos t-\sin t)$ および $\frac{dy}{dt}=e^t\sin t+e^t\cos t=e^t(\sin t+\cos t)$ である。縦接線は $dx/dt=0$ となる点で生じるので，$\cos t-\sin t=0$ より $t=\frac{\pi }{4}$ である。このとき

であるから，確かに接線は縦である。

したがって，その接線 $l$ は $t=\pi /4$ における $x$ 座標を用いて $x=e^{\pi /4}\cos \frac{\pi }{4}=\frac{e^{\pi /4}}{\sqrt{2}}$ すなわち $l:x=\frac{e^{\pi /4}}{\sqrt{2}}$ である。

(2)

とおく。問題の条件より $\beta >0$ である。

まず $I$ について，$\cos \beta t$ を積分する形で部分積分すると $I=\frac{e^{\alpha t}\sin \beta t}{\beta }-\frac{\alpha }{\beta }J$ である。すなわち $\beta I+\alpha J=e^{\alpha t}\sin \beta t$ である。

次に $J$ について，$\sin \beta t$ を積分する形で部分積分すると $J=-\frac{e^{\alpha t}\cos \beta t}{\beta }+\frac{\alpha }{\beta }I$ である。すなわち $-\alpha I+\beta J=-e^{\alpha t}\cos \beta t$ である。

この2本の連立方程式を解くと，

および

を得る。したがって

である。

(3)

図形 $D$ の境界となる曲線部分は，$x$ 軸上の点 $(1,0)$ に対応する $t=0$ から，直線 $l$ との接点に対応する $t=\pi /4$ までである。したがって $0\le t\le \pi /4$ を用いる。この範囲では $\frac{dx}{dt}=e^t(\cos t-\sin t)\ge 0$ であるから，$x$ は増加する。$x$ 軸のまわりに回転してできる立体の体積 $V$ は $V=\pi \int y^{2}dx$ で与えられる。媒介変数 $t$ を用いると $V=\pi {\int }_0^{\pi /4}(e^t\sin t{)}^2{e}^t(\cos t-\sin t)dt$ である。したがって $V=\pi {\int }_0^{\pi /4}{e}^{3t}{\sin }^{2}t(\cos t-\sin t)dt$ である。

三角関数を積和の形に直す。まず ${\sin }^{2}t\cos t=\frac{1}{4}(\cos t-\cos 3t)$ であり，${\sin }^{3}t=\frac{1}{4}(3\sin t-\sin 3t)$ である。よって ${\sin }^{2}t(\cos t-\sin t)=\frac{1}{4}(\cos t-3\sin t-\cos 3t+\sin 3t)$ となる。

したがって，(2)の公式を $\alpha =3$，$\beta =1,3$ に対して用いればよい。計算をまとめると，

である。

これを $0$ から $\pi /4$ まで代入する。$t=\pi /4$ では

であるから，

である。$t=0$ では $\frac{1}{4}\left(\frac{3}{5}-\frac{1}{3}\right)=\frac{1}{15}$ である。したがって

である。

よって求める体積は $V=\frac{\pi }{60}\left(\sqrt{2}{e}^{3\pi /4}-4\right)$ である。