東京大学 1983年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第6問

曲面 $K$ は$$y={\displaystyle \frac{3}{4}}-x^2-z^2$$と表される。回転対称性により、切断平面は$$H:y=x$$としてよい。

$xy$ 平面内で座標軸を ${45}^{\circ }$ 回転し$$p={\displaystyle \frac{x+y}{\sqrt{2}}},q={\displaystyle \frac{y-x}{\sqrt{2}}}$$とおく。これは長さと体積を変えない座標の取り替えであり、$H$ は $q=0$ となる。逆に$$x={\displaystyle \frac{p-q}{\sqrt{2}}},y={\displaystyle \frac{p+q}{\sqrt{2}}}\mathrm{.}$$曲面の式へ代入して平方完成すると$${(p-q+{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}})}^2+2z^2=2-2\sqrt{2}q\mathrm{.}$$したがって $q$ を固定した切り口は、半軸$$\sqrt{2-2\sqrt{2}q},\sqrt{1-\sqrt{2}q}$$の楕円である。断面が存在する範囲は$$0\leqq q\leqq {\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}}$$で、その面積は$$A(q)=\pi \sqrt{2}(1-\sqrt{2}q)\mathrm{.}$$よって体積は1変数の積分で$$V={\int }_0^{1\mathrm{/}\sqrt{2}}A(q)dq=\pi \sqrt{2}{\int }_0^{1\mathrm{/}\sqrt{2}}(1-\sqrt{2}q)dq={\displaystyle \frac{\pi }{2}}\mathrm{.}$$

$z$ を固定すると、曲面と平面の間の断面積は、放物線と直線で囲まれた平面図形の面積になる。平方完成して幅を求め、まず $x$ の1変数積分で断面積 $A(z)$ を出す。最後に $z$ について積分し、三角置換で計算する。

$H:y=x$ とする。$z$ を固定したとき、曲面と平面の高さの差は$${\displaystyle \frac{3}{4}}-x^2-z^2-x=1-z^2-{(x+{\displaystyle \frac{1}{2}})}^2\mathrm{.}$$したがって断面が存在するのは $-1\leqq z\leqq 1$ である。$u=x+{\displaystyle \frac{1}{2}}$ とおけば、その断面積は$$\begin{array}{rl}{\displaystyle A(z)}& {\displaystyle ={\int }_{-\sqrt{1-z^2}}^{\sqrt{1-z^2}}\{1-z^2-u^2\}du}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{4}{3}}(1-z^2{)}^{3\mathrm{/}2}\mathrm{.}}\end{array}$$よって体積は$$V={\displaystyle \frac{4}{3}}{\int }_{-1}^1(1-z^2{)}^{3\mathrm{/}2}dz\mathrm{.}$$$z=\sin \theta$ とおくと$$\begin{array}{rl}{\displaystyle V}& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{8}{3}}{\int }_0^{\pi \mathrm{/}2}{\cos }^4\theta d\theta }\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{8}{3}}{\int }_0^{\pi \mathrm{/}2}{\displaystyle \frac{3+4\cos 2\theta +\cos 4\theta }{8}}d\theta }\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{\pi }{2}}\mathrm{.}}\end{array}$$したがって求める体積は ${\displaystyle \frac{\pi }{2}}$ である。