東京大学 1985年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第3問

まず $f(x)=x^n+ax+b$ とおく。

1. $n$ が奇数のとき
このとき $x^n$ は奇関数なので $${\int }_{-1}^1{x}^{n}dx=0,{\int }_{-1}^{1}xdx=0$$ である。したがって $${\int }_{-1}^{1}f(x)dx=2b=0$$ より $b=0$ である。また$${\int }_{-1}^0{x}^{n}dx=-{\displaystyle \frac{1}{n+1}},{\int }_{-1}^{0}xdx=-{\displaystyle \frac{1}{2}}$$だから $$-{\displaystyle \frac{1}{n+1}}-{\displaystyle \frac{a}{2}}=0$$ となり $$a=-{\displaystyle \frac{2}{n+1}}$$ である。よって $$f(x)=x^n-{\displaystyle \frac{2}{n+1}}x$$ である。

このとき$$\begin{array}{rl}{\displaystyle F(x)}& {\displaystyle ={\int }_{-1}^x(t^n-{\displaystyle \frac{2}{n+1}}t)dt}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{x^{n+1}-x^2}{n+1}}}\end{array}$$である。$n-1$ は偶数なので $$F(x)={\displaystyle \frac{x^2(x^{n-1}-1)}{n+1}}$$ である。したがって $F(x)=0$ となるのは $$x=-1,x=0,x=1$$ である。ただし $x=0$ では符号は変わらない。実際，$\mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }<1$ では $x^{n-1}-1<0$，$\mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }>1$ では $x^{n-1}-1>0$ である。よって $G^{\mathrm{\prime }}(x)=F(x)$ は，$x=-1$ で正から負へ，$x=1$ で負から正へ変わる。

したがって $G$ は $$x=-1\text{ で極大},x=1\text{ で極小}$$ となる。値は $G(-1)=0$ であり，$$\begin{array}{rl}{\displaystyle G(1)}& {\displaystyle ={\int }_{-1}^1{\displaystyle \frac{x^{n+1}-x^2}{n+1}}dx}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{1}{n+1}}({\displaystyle \frac{2}{n+2}}-{\displaystyle \frac{2}{3}})}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{2(1-n)}{3(n+1)(n+2)}}}\end{array}$$である。

2. $n$ が偶数のとき
このとき $${\int }_{-1}^1{x}^{n}dx={\displaystyle \frac{2}{n+1}},{\int }_{-1}^{1}xdx=0$$ であるから $${\displaystyle \frac{2}{n+1}}+2b=0$$ より $$b=-{\displaystyle \frac{1}{n+1}}$$ である。また$${\int }_{-1}^0{x}^{n}dx={\displaystyle \frac{1}{n+1}},{\int }_{-1}^{0}xdx=-{\displaystyle \frac{1}{2}}$$だから $${\displaystyle \frac{1}{n+1}}-{\displaystyle \frac{a}{2}}-{\displaystyle \frac{1}{n+1}}=0$$ より $a=0$ である。よって $$f(x)=x^n-{\displaystyle \frac{1}{n+1}}$$ である。

このとき$$F(x)={\int }_{-1}^x(t^n-{\displaystyle \frac{1}{n+1}})dt={\displaystyle \frac{x^{n+1}-x}{n+1}}={\displaystyle \frac{x(x^n-1)}{n+1}}$$である。$n$ は偶数なので，$F(x)=0$ となるのは $$x=-1,x=0,x=1$$ である。符号を調べると，$x<-1$ で負，$-1<x<0$ で正，$0<x<1$ で負，$x>1$ で正である。したがって $G$ は $$x=-1,1\text{ で極小},x=0\text{ で極大}$$ となる。

値は $G(-1)=0$ であり，$F$ は奇関数なので $$G(1)={\int }_{-1}^{1}F(x)dx=0$$ である。また$$\begin{array}{rl}{\displaystyle G(0)}& {\displaystyle ={\int }_{-1}^0{\displaystyle \frac{x^{n+1}-x}{n+1}}dx}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{1}{n+1}}{[-{\displaystyle \frac{x^2}{2}}+{\displaystyle \frac{x^{n+2}}{n+2}}]}_{-1}^0}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{n}{2(n+1)(n+2)}}}\end{array}$$である。

以上をまとめると，奇数 $n$ では$$f(x)=x^n-{\displaystyle \frac{2}{n+1}}x,x=-1\text{ で極大値 }0,x=1\text{ で極小値 }{\displaystyle \frac{2(1-n)}{3(n+1)(n+2)}}$$であり，偶数 $n$ では$$f(x)=x^n-{\displaystyle \frac{1}{n+1}},x=0\text{ で極大値 }{\displaystyle \frac{n}{2(n+1)(n+2)}},x=-1,1\text{ で極小値 }0$$である。

積分条件を $[-1,0]$ と $[0,1]$ の両方で0と読み替え、偶奇別に $a,b$ を決める。その後は $F=G^{\mathrm{\prime }}$ を因数分解し、数直線上の符号表だけで極値を判定する。

2つの条件から$${\int }_{-1}^{0}f(x)dx=0,{\int }_0^{1}f(x)dx=0$$である。

$n$ が奇数のとき
対称性より $b=0$ であり、前半区間の条件から$$a=-{\displaystyle \frac{2}{n+1}}\mathrm{.}$$したがって$$f(x)=x^n-{\displaystyle \frac{2}{n+1}}x,F(x)={\displaystyle \frac{x^2(x^{n-1}-1)}{n+1}}\mathrm{.}$$$F=G^{\mathrm{\prime }}$ の符号は $x=-1$ で正から負、$x=1$ で負から正へ変わり、$x=0$ では変わらない。よって$$x=-1\text{ で極大値 }0,x=1\text{ で極小値 }{\displaystyle \frac{2(1-n)}{3(n+1)(n+2)}}\mathrm{.}$$$n$ が偶数のとき
2区間の条件を加減すると$$a=0,b=-{\displaystyle \frac{1}{n+1}}\mathrm{.}$$したがって$$f(x)=x^n-{\displaystyle \frac{1}{n+1}},F(x)={\displaystyle \frac{x(x^n-1)}{n+1}}\mathrm{.}$$符号表から $x=-1,1$ で負から正、$x=0$ で正から負へ変わる。よって$$x=-1,1\text{ で極小値 }0,x=0\text{ で極大値 }{\displaystyle \frac{n}{2(n+1)(n+2)}}\mathrm{.}$$