東京大学 1986年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第3問

$f(x)=1,x,x^2,x^3$ を順に代入すると$$u+v=2,us+vt=0,$$$$u{s}^2+v{t}^2={\displaystyle \frac{2}{3}},u{s}^3+v{t}^3=0$$を得る。

$us=-vt$ を最後の式に使うと$$us(s^2-t^2)=0.$$もし $us=0$ なら $us=vt=0$ となり、二次の式の右辺が $0$ になって矛盾する。したがって $s^2=t^2$ である。$s<t$ より$$s=-t,t>0.$$一次の式から $u=v$、定数の式から $u=v=1$ となる。二次の式へ戻すと$$2t^2={\displaystyle \frac{2}{3}}$$なので$$u=v=1,s=-{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}}},t={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}}}\mathrm{.}$$実際、奇数次の項は左右で打ち消し合い、偶数次の項について$$f\text{\hspace{0.17em}⁣}(-{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}}})+f\text{\hspace{0.17em}⁣}\left({\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}}}\right)={\displaystyle \frac{2b}{3}}+2d={\int }_{-1}^{1}f(x)dx$$となる。

三次以下の整式を偶関数部分 $b{x}^2+d$ と奇関数部分 $a{x}^3+cx$ に分ける。対称区間では奇関数部分の積分が0であることから二つの評価点と重みを対称にし、偶関数部分の定数項と二次項を正確に再現させる。

三次以下の整式を$$f(x)=(b{x}^2+d)+(a{x}^3+cx)$$と偶関数部分と奇関数部分に分ける。対称区間では$${\int }_{-1}^1(a{x}^3+cx)dx=0.$$奇関数 $x,x^3$ の値を二点で常に打ち消すには、評価点を $-r,r$、重みを同じ $w$ とすればよい。条件 $s<t$ に合わせて$$s=-r,t=r,r>0,u=v=w$$とおく。

定数関数を正確に積分する条件から$$2=2w$$なので $w=1$ である。次に $x^2$ を正確に積分する条件は$${\displaystyle \frac{2}{3}}=(-r{)}^2+r^2=2r^2$$であるから $r=1\mathrm{/}\sqrt{3}$ となる。

この選択では奇関数部分は二点の値の和も0になり、偶関数部分については定数項と二次項をそれぞれ正確に再現する。よって一般の三次以下の整式で恒等式が成立し、求める値は$$u=v=1,s=-{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}}},t={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}}}$$である。解法1の四条件により、この組以外は存在しない。