東京大学 1987年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第4問

点 $P$ の $y$ 座標を $u$ とおく。$P$ は $yz$ 平面上の放物線 $z=1-y^2$ 上にあるから $P=(0,u,1-u^2)$ である。

点 $A(1,0,1)$ と $P$ を結ぶ線分上で、$x$ 座標が $x$ の点を考える。$0\leqq x\leqq 1$ に対して、この点は $(x,(1-x)u,1-(1-x)u^2)$ である。これを $x$ 軸のまわりに回転すると、$x$ で切った断面は円であり、その半径の2乗は $(1-x{)}^2{u}^2+\{1-(1-x)u^2{\}}^2$ である。

したがって体積は$$V=\pi {\int }_0^1[(1-x{)}^2{u}^2+\{1-(1-x)u^2{\}}^2]dx$$である。$s=1-x$ と見て計算すると$$\begin{array}{rl}{\displaystyle {\displaystyle \frac{V}{\pi }}}& {\displaystyle ={\int }_0^1\{s^2{u}^2+(1-s{u}^2{)}^2\}ds}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\int }_0^1\{1-2s{u}^2+s^2(u^4+u^2)\}ds}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =1-u^2+{\displaystyle \frac{u^4+u^2}{3}}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{1}{3}}(u^4-2u^2+3)\mathrm{.}}\end{array}$$よって $$V={\displaystyle \frac{\pi }{3}}(u^4-2u^2+3)$$ である。ここで $u$ は $P$ の $y$ 座標である。

さらに $u^4-2u^2+3=(u^2-1{)}^2+2$ だから、最小値は $u^2=1$ のときにとり、$$V_{\min }={\displaystyle \frac{2\pi }{3}}$$ である。

線分 $PA$ の $yz$ 成分を二つの平面ベクトルの一次補間と見る。二乗ノルムの積分公式を展開して確かめ、断面積を一度に積分する。

$P=(0,u,1-u^2)$、$A=(1,0,1)$ とする。$yz$ 平面内の二つのベクトルを$$\mathit{p}=(u,1-u^2),\mathit{q}=(0,1)$$とおく。線分上で $x$ 座標が $x$ の点の $yz$ 成分は$$(1-x)\mathit{p}+x\mathit{q}$$である。したがって回転断面の面積は、その長さの2乗に $\pi$ を掛けたものである。

展開して積分すると、任意の平面ベクトルについて$$\begin{array}{rl}{\displaystyle {\int }_0^1\mathrm{\mid }(1-x)\mathit{p}+x\mathit{q}{\mathrm{\mid }}^{2}dx}& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{1}{3}}(\mathrm{\mid }\mathit{p}{\mathrm{\mid }}^2+\mathit{p}\cdot \mathit{q}+\mathrm{\mid }\mathit{q}{\mathrm{\mid }}^2)\mathrm{.}}\end{array}$$ここで$$\mathrm{\mid }\mathit{p}{\mathrm{\mid }}^2=u^2+(1-u^2{)}^2,\mathit{p}\cdot \mathit{q}=1-u^2,\mathrm{\mid }\mathit{q}{\mathrm{\mid }}^2=1.$$よって$$\begin{array}{rl}{\displaystyle V}& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{\pi }{3}}\{u^2+(1-u^2{)}^2+(1-u^2)+1\}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{\pi }{3}}(u^4-2u^2+3)\mathrm{.}}\end{array}$$さらに$$u^4-2u^2+3=(u^2-1{)}^2+2$$だから$$V_{\min }={\displaystyle \frac{2\pi }{3}}$$であり、$u=\pm 1$ のときに等号となる。