東京大学 1989年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第5問

$0\leqq x\leqq 1$ では $0\leqq \pi x^2\leqq \pi$ であるから $\sin \pi x^2\geqq 0$ であり、$f(x)\geqq 0$ である。 $x$ から $x+dx$ までの細い部分を $y$ 軸のまわりに回転すると、半径がほぼ $x$、高さが $f(x)$、厚さが $dx$ の薄い円筒になる。その側面積は $2\pi xf(x)$、厚さは $dx$ なので、体積の和として $V=2\pi {\int }_0^{1}xf(x)dx$ が得られる。

この式に $f(x)=\pi x^2\sin \pi x^2$ を代入すると $$V=2{\pi }^2{\int }_0^1{x}^3\sin \pi x^{2}dx$$ である。ここで $u=x^2$ とおくと、$du=2xdx$ であり、$x^{3}dx=x^{2}xdx=udu\mathrm{/}2$ である。したがって $$V={\pi }^2{\int }_0^{1}u\sin \pi udu$$ となる。

部分積分により$$\begin{array}{rl}{\displaystyle {\int }_0^{1}u\sin \pi udu}& {\displaystyle ={[-\frac{u\cos \pi u}{\pi }]}_0^1+\frac{1}{\pi }{\int }_0^1\cos \pi udu}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\frac{1}{\pi }+\frac{1}{{\pi }^2}[\sin \pi u{]}_0^1=\frac{1}{\pi }\mathrm{.}}\end{array}$$よって $$V={\pi }^2\cdot \frac{1}{\pi }=\pi$$ である。