東京大学 1984年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第4問

高さ $z$ で板 $S$ を水平に切る。
頂点 $P,Q$ は $z=0$、頂点 $R$ は $$z={\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{4}}$$ にある。したがって $$0\leqq z\leqq {\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{4}}$$ を考えればよい。

高さ $z$ における切り口は、辺 $RP$, $RQ$ を同じ比で切った線分である。$z=0$ で $x=1$、$z=\sqrt{3}\mathrm{/}4$ で $x=1\mathrm{/}4$ だから、その高さでの $x$ 座標は $x=1-\sqrt{3}z$ である。また $y$ 方向の半幅は、$z=0$ で $1\mathrm{/}2$、頂点 $R$ で $0$ になるので ${\displaystyle \frac{1}{2}}(1-{\displaystyle \frac{4z}{\sqrt{3}}})$ である。
よって切り口は$$x=1-\sqrt{3}z,-{\displaystyle \frac{1}{2}}(1-{\displaystyle \frac{4z}{\sqrt{3}}})\leqq y\leqq {\displaystyle \frac{1}{2}}(1-{\displaystyle \frac{4z}{\sqrt{3}}})$$で表される。

この線分を $z$ 軸のまわりに回転させる。高さ $z$ での内半径は $1-\sqrt{3}z$ であり、外半径の2乗は $(1-\sqrt{3}z{)}^2+{\displaystyle \frac{1}{4}}{(1-{\displaystyle \frac{4z}{\sqrt{3}}})}^2$ である。したがって断面積は$$\pi [(1-\sqrt{3}z{)}^2+{\displaystyle \frac{1}{4}}{(1-{\displaystyle \frac{4z}{\sqrt{3}}})}^2-(1-\sqrt{3}z{)}^2]$$すなわち ${\displaystyle \frac{\pi }{4}}{(1-{\displaystyle \frac{4z}{\sqrt{3}}})}^2$ である。

よって体積は$${\int }_0^{\sqrt{3}\mathrm{/}4}{\displaystyle \frac{\pi }{4}}{(1-{\displaystyle \frac{4z}{\sqrt{3}}})}^{2}dz$$である。$u=1-4z\mathrm{/}\sqrt{3}$ とおけば $$dz=-{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{4}}du$$ なので$${\int }_0^{\sqrt{3}\mathrm{/}4}{\displaystyle \frac{\pi }{4}}{(1-{\displaystyle \frac{4z}{\sqrt{3}}})}^{2}dz={\displaystyle \frac{\pi }{4}}\cdot {\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{4}}{\int }_0^1{u}^{2}du={\displaystyle \frac{\sqrt{3}\pi }{48}}$$である。

線分の位置に依らず、円環の面積は半幅の2乗だけで決まる

各高さの水平線分を回転してできる円環の面積を求めると、
$z$ 軸から線分までの距離が相殺され、線分の半幅だけで決まる。
その面積は、相似に縮む円板の面積と一致する。断面積の一致を
積分に用い、同じ高さと底面半径をもつ円錐の体積へ置き換える。

板の高さは$$H={\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{4}}$$である。高さ $z$ における水平な切り口は、ある正の
$x=x_z$ 上にある線分で、その $y$ 方向の半幅を $h_z$
とする。相似比から$$h_z={\displaystyle \frac{1}{2}}(1-{\displaystyle \frac{z}{H}})\mathrm{.}$$この線分を $z$ 軸のまわりに回すと、内半径 $x_z$、
外半径 $\sqrt{x_z^2+h_z^2}$ の円環になる。したがって
断面積は$$\pi \{(x_z^2+h_z^2)-x_z^2\}=\pi h_z^2\mathrm{.}$$これは、高さ $H$、底面半径 ${\displaystyle \frac{1}{2}}$ の直円錐を
同じ高さで切った円板の面積と一致する。各高さで断面積が等しい
ので、それを高さについて積分した体積も等しい。

したがって体積は$${\displaystyle \frac{1}{3}}\pi {\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)}^2{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{4}}={\displaystyle \frac{\sqrt{3}\pi }{48}}\mathrm{.}$$