東京大学 1984年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第3問

i)
まず $f_k(x)=x^k-kx+k-1$ について $f_k(1)=1-k+k-1=0$ である。また $f_k^{\mathrm{\prime }}(x)=k{x}^{k-1}-k$ より $f_k^{\mathrm{\prime }}(1)=k-k=0$ である。したがって各 $f_k(x)$ は $(x-1{)}^2$ で割り切れる。
よって $$g(x)=\sum _{k=2}^n{a}_k{f}_k(x)$$ と表されるなら、$g(x)$ も $(x-1{)}^2$ で割り切れる。

逆に、$g(x)$ が $n$ 次以下の多項式で $(x-1{)}^2$ で割り切れるとする。$f_n(x)$ の最高次の項は $x^n$ であるから、$g(x)$ の $x^n$ の係数を消すように $a_n$ を選べる。次に $f_{n-1}(x)$ の最高次の項は $x^{n-1}$ であるから、残った $x^{n-1}$ の係数を消すように $a_{n-1}$ を選べる。
この操作を順に続けると、$$h(x)=g(x)-\sum _{k=2}^n{a}_k{f}_k(x)$$ が1次以下の多項式になるように $a_2,\dots ,a_n$ を定められる。

ここで $g(x)$ も各 $f_k(x)$ も $(x-1{)}^2$ で割り切れるから、$h(x)$ も $(x-1{)}^2$ で割り切れる。しかし1次以下の多項式で $(x-1{)}^2$ で割り切れるものは零多項式だけである。したがって $h(x)\equiv 0$ であり、$$g(x)=\sum _{k=2}^n{a}_k{f}_k(x)$$ と表される。
以上で必要十分性が示された。

ii)
i) より、$(x-1{)}^2$ で割り切れることは $$g(x)=\sum _{k=2}^n{a}_k{f}_k(x)$$ と表せることと同値である。
さらに $(x-1{)}^3$ で割り切れるためには、すでに $g(1)=g^{\mathrm{\prime }}(1)=0$ が成り立っているので、$g^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(1)=0$ が必要十分である。

ここで $f_k^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)=k(k-1)x^{k-2}$ だから $f_k^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(1)=k(k-1)$ である。したがって $$g^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(1)=\sum _{k=2}^n{a}_{k}k(k-1)$$ である。
よって $g(x)$ が $(x-1{)}^3$ で割り切れるための条件は $$\sum _{k=2}^{n}k(k-1)a_k=0$$ であり、これは $$\sum _{k=2}^n{\displaystyle \frac{k(k-1)}{2}}{a}_k=0$$ と同値である。

高い次数から順に消去すると、余りは1次以下になる

$x=1+u$ と置いて二項展開する。各 $f_k$ は
$u^2,\dots ,u^k$ のみを含み、$u^k$ の係数は1である。
したがって、高い次数から順に項を消して
$(x-1{)}^2$ の倍数を表せる。3重因子の条件は
$u^2$ の係数が0であることになる。

$u=x-1$ とおく。二項定理により$$\begin{array}{rl}{\displaystyle f_k(x)}& {\displaystyle =(1+u{)}^k-k(1+u)+k-1}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\sum _{j=2}^k{\displaystyle \frac{k!}{j!(k-j)!}}{u}^j\mathrm{.}}\end{array}$$特に $f_k$ は $u^2=(x-1{)}^2$ で割り切れ、最高次の
$u^k$ の係数は1である。

まず$$g(x)=\sum _{k=2}^n{a}_k{f}_k(x)$$と表されれば、各項が $u^2$ の倍数なので $g$ も
$(x-1{)}^2$ で割り切れる。

逆に $g$ が $(x-1{)}^2$ で割り切れるなら$$g(x)=b_2{u}^2+b_3{u}^3+\cdots +b_n{u}^n$$と表せる。$f_n$ の $u^n$ の係数が1であるから、
適当な $a_n{f}_n$ を引いて $u^n$ の項を消せる。
次に $f_{n-1}$ で $u^{n-1}$ の項を消し、同様に
$f_2$ まで続ければ$$g(x)=\sum _{k=2}^n{a}_k{f}_k(x)$$を得る。これで i) の必要十分性が示された。

上の二項展開から、$f_k$ における $u^2$ の係数は$${\displaystyle \frac{k(k-1)}{2}}$$である。したがって$$\sum _{k=2}^n{a}_k{f}_k(x)$$がさらに $u^3=(x-1{)}^3$ で割り切れるための必要十分条件は、
$u^2$ の係数が0、すなわち$${\displaystyle \sum _{k=2}^n{\displaystyle \frac{k(k-1)}{2}}{a}_k=0}$$である。これで ii) も示された。