東京大学 1986年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第2問

$M$ を $CD$ の中点とする。$AC=AD$、$BC=BD$ より、$A,B$ はともに $CD$ の垂直二等分面上にある。したがって$$CM=DM=2,AM=BM=\sqrt{5^2-2^2}=\sqrt{21},$$かつ $CD$ は平面 $ABM$ に垂直である。

三角形 $ABM$ がつぶれないための条件は$$0<x<2\sqrt{21}\mathrm{.}$$このとき、$M$ から $AB$ へ下ろした垂線の長さは$$\sqrt{21-{\displaystyle \frac{x^2}{4}}}={\displaystyle \frac{\sqrt{84-x^2}}{2}}$$である。四面体を、底面を三角形 $ABM$ とする頂点 $C,D$ の二つの三角錐に分けると$$V={\displaystyle \frac{1}{3}}(CM+DM)\cdot {\displaystyle \frac{x}{2}}\cdot {\displaystyle \frac{\sqrt{84-x^2}}{2}}={\displaystyle \frac{x\sqrt{84-x^2}}{3}}\mathrm{.}$$ここで$$9V^2=x^2(84-x^2)\leqq {\left({\displaystyle \frac{x^2+84-x^2}{2}}\right)}^2={42}^2\mathrm{.}$$等号は $x^2=42$ のときに成り立つ。よって$$0<x<2\sqrt{21},V={\displaystyle \frac{x\sqrt{84-x^2}}{3}},V_{\max }=14(x=\sqrt{42})\mathrm{.}$$

同じ中点 $M$ を使い、$\theta =\mathrm{\angle }AMB$ とおく。二等辺三角形 $ABM$ の面積を $\sin \theta$ で表すと、四面体の体積は $14\sin \theta$ となり、存在範囲と最大値を同時に読める。

$M$ を $CD$ の中点とすると$$AM=BM=\sqrt{21},CM=DM=2,$$かつ $CD\perp \text{平面 }ABM$ である。$\theta =\mathrm{\angle }AMB$ とおけば、四面体が存在する条件は $0<\theta <\pi$ である。

二等辺三角形 $ABM$ から$$x=AB=2\sqrt{21}\sin {\displaystyle \frac{\theta }{2}},$$したがって $$0<x<2\sqrt{21}$$ である。また$$[ABM]={\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot 21\sin \theta \mathrm{.}$$よって、頂点を $C,D$ とする二つの三角錐の体積の和は$$V={\displaystyle \frac{1}{3}}(2+2)[ABM]=14\sin \theta \mathrm{.}$$さらに$$\cos \theta =1-2{\sin }^2{\displaystyle \frac{\theta }{2}}=1-{\displaystyle \frac{x^2}{42}}$$より$$\sin \theta ={\displaystyle \frac{x\sqrt{84-x^2}}{42}}\mathrm{.}$$したがって$$V={\displaystyle \frac{x\sqrt{84-x^2}}{3}}\mathrm{.}$$最大値は $\sin \theta =1$、すなわち $\theta =\pi \mathrm{/}2$ のときの $14$ であり、そのとき $$x=\sqrt{42}$$ である。