東京大学 1985年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第3問

$x$ 軸を含む対称面は $y=tz$、$y$ 軸を含む対称面は $x=tz$ である。平面内の直線対称を計算すると$$Q=(t,{\displaystyle \frac{t(t^2-1)}{t^2+1}},{\displaystyle \frac{2t^2}{t^2+1}}),R=({\displaystyle \frac{t(t^2-1)}{t^2+1}},t,{\displaystyle \frac{2t^2}{t^2+1}})\mathrm{.}$$$d=t^2+1$ とおく。底面を $\mathrm{△}OPQ$ に選ぶと$$OP=t\sqrt{2},\text{点 }Q\text{ と直線 }OP\text{ の距離}={\displaystyle \frac{t\sqrt{,2(1+2t^2),}}{d}}\mathrm{.}$$したがって底面積は$$\begin{array}{cccc}& B={\displaystyle \frac{t^2\sqrt{,1+2t^2,}}{d}}\mathrm{.}& & \text{(1)}\end{array}$$平面 $OPQ$ の方程式は$$tx-ty-z=0$$である。点 $R$ からこの平面までの距離は$$\begin{array}{cccc}& h={\displaystyle \frac{4t^2}{d\sqrt{,2t^2+1,}}}\mathrm{.}& & \text{(2)}\end{array}$$よって(1)、(2)より$$V={\displaystyle \frac{1}{3}}Bh={\displaystyle \frac{4t^4}{3(t^2+1{)}^2}}\mathrm{.}$$

底面を $\mathrm{△}PQR$ に選び、その底辺 $QR$ と中線 $PM$ が直交することを使う。平面 $PQR$ の方程式から原点までの高さを求め、底面積と高さだけで体積を出す。

$x$ 軸を含み点 $(t,t,1)$ を通る平面は $y=tz$ である。$yz$ 平面内で点 $(t,0)$ を直線 $y=tz$ に関して対称移動すると$$Q=(t,{\displaystyle \frac{t(t^2-1)}{t^2+1}},{\displaystyle \frac{2t^2}{t^2+1}})$$を得る。同様に$$R=({\displaystyle \frac{t(t^2-1)}{t^2+1}},t,{\displaystyle \frac{2t^2}{t^2+1}})$$である。

以下、$d=t^2+1$ とおく。$Q,R$ の中点を $M$ とすると$$M=({\displaystyle \frac{t^3}{d}},{\displaystyle \frac{t^3}{d}},{\displaystyle \frac{2t^2}{d}}),QR={\displaystyle \frac{2\sqrt{2}t}{d}}\mathrm{.}$$直線 $QR$ の方向は $(-1,1,0)$ であり、$\overrightarrow{PM}$ と垂直である。したがって$$PM={\displaystyle \frac{\sqrt{2}t\sqrt{,1+2t^2,}}{d}}$$であり、底面 $\mathrm{△}PQR$ の面積は$$\begin{array}{cccc}& {\displaystyle \frac{1}{2}}QR\cdot PM={\displaystyle \frac{2t^2\sqrt{,1+2t^2,}}{d^2}}\mathrm{.}& & \text{(1)}\end{array}$$平面 $PQR$ の方程式は、3点を代入して確かめれば$$t(x+y)+z=2t^2$$である。よって原点 $O$ からこの平面までの距離は$$\begin{array}{cccc}& {\displaystyle \frac{2t^2}{\sqrt{,2t^2+1,}}}\mathrm{.}& & \text{(2)}\end{array}$$(1)、(2)より、四面体の体積は$$V={\displaystyle \frac{1}{3}}\cdot {\displaystyle \frac{2t^2\sqrt{,1+2t^2,}}{d^2}}\cdot {\displaystyle \frac{2t^2}{\sqrt{,2t^2+1,}}}={\displaystyle \frac{4t^4}{3(t^2+1{)}^2}}\mathrm{.}$$