東京大学 1985年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第1問

$a\geqq 1$ である。まず $$\sin \theta ={\displaystyle \frac{1}{a}},0<\theta \leqq {\displaystyle \frac{\pi }{2}}$$ となる $\theta$ をとる。$a=1$ のときは $\theta =\pi \mathrm{/}2$ である。また $$\cos \theta =\sqrt{1-{\displaystyle \frac{1}{a^2}}}={\displaystyle \frac{\sqrt{a^2-1}}{a}}$$ である。 $S_1$ は $1\leqq y\leqq a\sin x$ の部分なので，$a\sin x\geqq 1$ となる $\theta \leqq x\leqq \pi \mathrm{/}2$ で積分して$$\begin{array}{rl}{\displaystyle S_1}& {\displaystyle ={\int }_{\theta }^{\pi \mathrm{/}2}(a\sin x-1)dx}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =a\cos \theta -({\displaystyle \frac{\pi }{2}}-\theta )}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\sqrt{a^2-1}-{\displaystyle \frac{\pi }{2}}+\theta }\end{array}$$である。

一方，$S_2$ は $$0\leqq y\leqq a\sin x,0\leqq y\leqq 1$$ を同時に満たす部分である。したがって上端は $a\sin x$ と1の小さい方であり，$$\begin{array}{rl}{\displaystyle S_2}& {\displaystyle ={\int }_0^{\theta }a\sin xdx+{\int }_{\theta }^{\pi \mathrm{/}2}1dx}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =a(1-\cos \theta )+{\displaystyle \frac{\pi }{2}}-\theta }\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =a-\sqrt{a^2-1}+{\displaystyle \frac{\pi }{2}}-\theta }\end{array}$$である。

よって $$H(a)=S_2-S_1=a-2\sqrt{a^2-1}+\pi -2\theta$$ である。$a>1$ で微分する。$\sin \theta =1\mathrm{/}a$ より $$\cos \theta {\theta }^{\mathrm{\prime }}=-{\displaystyle \frac{1}{a^2}}$$ だから $${\theta }^{\mathrm{\prime }}=-{\displaystyle \frac{1}{a\sqrt{a^2-1}}}$$ である。したがって$$\begin{array}{rl}{\displaystyle H^{\mathrm{\prime }}(a)}& {\displaystyle =1-{\displaystyle \frac{2a}{\sqrt{a^2-1}}}+{\displaystyle \frac{2}{a\sqrt{a^2-1}}}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =1-{\displaystyle \frac{2\sqrt{a^2-1}}{a}}}\end{array}$$である。 $H^{\mathrm{\prime }}(a)=0$ とすると $$\sqrt{a^2-1}={\displaystyle \frac{a}{2}}$$ であり，$$a^2-1={\displaystyle \frac{a^2}{4}}$$ より $$a={\displaystyle \frac{2}{\sqrt{3}}}$$ を得る。$1<a<2\mathrm{/}\sqrt{3}$ では $H^{\mathrm{\prime }}(a)>0$，$a>2\mathrm{/}\sqrt{3}$ では $H^{\mathrm{\prime }}(a)<0$ なので，ここで最大となる。

このとき $$\sin \theta ={\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}$$ より $$\theta ={\displaystyle \frac{\pi }{3}}$$ である。また $$\sqrt{a^2-1}={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}}}$$ なので$$\begin{array}{rl}{\displaystyle H\left({\displaystyle \frac{2}{\sqrt{3}}}\right)}& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{2}{\sqrt{3}}}-2\cdot {\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}}}+\pi -2\cdot {\displaystyle \frac{\pi }{3}}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{\pi }{3}}}\end{array}$$である。

したがって $$a={\displaystyle \frac{2}{\sqrt{3}}},(S_2-S_1{)}_{\max }={\displaystyle \frac{\pi }{3}}$$ である。端点 $a=1$ では $S_2-S_1=1$ であり，これは $\pi \mathrm{/}3$ より小さい。

交点角 $\theta$ を主変数にして $a=1\mathrm{/}\sin \theta$ と表す。面積差を $\theta$ の関数として微分すると、導関数が $\cos \theta (2\cos \theta -1)$ の符号に帰着する。

$$a\sin \theta =1(0<\theta \leqq \pi \mathrm{/}2)$$ とおくと$$a={\displaystyle \frac{1}{\sin \theta }}\mathrm{.}$$面積を区間 $[0,\theta ]$、$[\theta ,\pi \mathrm{/}2]$ に分けて計算すると$$S_2-S_1=a-2a\cos \theta +\pi -2\theta \mathrm{.}$$したがって$$H(\theta )={\displaystyle \frac{1-2\cos \theta }{\sin \theta }}+\pi -2\theta \mathrm{.}$$微分して整理すると$$H^{\mathrm{\prime }}(\theta )={\displaystyle \frac{\cos \theta (2\cos \theta -1)}{{\sin }^2\theta }}\mathrm{.}$$よって $0<\theta <\pi \mathrm{/}3$ で増加し、$\pi \mathrm{/}3<\theta \leqq \pi \mathrm{/}2$ で減少する。最大は$$\theta ={\displaystyle \frac{\pi }{3}},a={\displaystyle \frac{2}{\sqrt{3}}}$$のときであり$$(S_2-S_1{)}_{\max }=H\left({\displaystyle \frac{\pi }{3}}\right)={\displaystyle \frac{\pi }{3}}\mathrm{.}$$