東京大学 1994年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第2問

(1)

公式 $$\sin 5\theta =16{\sin }^5\theta -20{\sin }^3\theta +5\sin \theta$$ を用いる。$\sin 5\theta =0$かつ$\sin \theta \mathrm{\ne }0$のとき，$\sin \theta$で割って $$16{\sin }^4\theta -20{\sin }^2\theta +5=0$$ を得る。 $\theta =\pi \mathrm{/}5$，$2\pi \mathrm{/}5$はいずれも$\sin 5\theta =0$，$\sin \theta \mathrm{\ne }0$を満たす。したがって $$a={\sin }^2{\displaystyle \frac{\pi }{5}},b={\sin }^2{\displaystyle \frac{2\pi }{5}}$$ は，2次方程式 $16X^2-20X+5=0$ の2根である。よって解と係数の関係から $$a+b={\displaystyle \frac{20}{16}}={\displaystyle \frac{5}{4}},ab={\displaystyle \frac{5}{16}}$$ であり，どちらも有理数である。

(2) $$r={\displaystyle \frac{a+b}{a}},s={\displaystyle \frac{a+b}{b}}$$ とおく。このとき $$r+s=(a+b)({\displaystyle \frac{1}{a}}+{\displaystyle \frac{1}{b}})={\displaystyle \frac{(a+b{)}^2}{ab}}$$ であり，(1)の結果を代入して $$r+s={\displaystyle \frac{(5\mathrm{/}4{)}^2}{5\mathrm{/}16}}=5$$ である。また $$rs={\displaystyle \frac{(a+b{)}^2}{ab}}=5$$ でもある。 $U_n=r^n+s^n$とおく。$r,s$は2次方程式 $X^2-5X+5=0$ の2根であるから $$r^2=5r-5,s^2=5s-5$$ である。両辺にそれぞれ$r^{n-2}$，$s^{n-2}$を掛けて足すと，$n\geqq 3$について $U_n=5U_{n-1}-5U_{n-2}$ が成り立つ。

初項は $$U_1=r+s=5,U_2=(r+s{)}^2-2rs=25-10=15$$ で，いずれも整数である。漸化式の係数も整数なので，数学的帰納法により，すべての自然数$n$について$U_n$は整数である。

一方，$$U_n={\left({\displaystyle \frac{a+b}{a}}\right)}^n+{\left({\displaystyle \frac{a+b}{b}}\right)}^n=(a^{-n}+b^{-n})(a+b{)}^n$$である。したがって求める数は整数である。

$a,b$ を2次方程式の根として明示し、求める式を互いに共役な2数のべき和へ変換する。整数係数の漸化式により整数性を示す。

(1)
$\sin 5\theta =0$ を用いると、$a,b$ は$$16X^2-20X+5=0$$の2根である。これを解けば$$a={\displaystyle \frac{5-\sqrt{5}}{8}},b={\displaystyle \frac{5+\sqrt{5}}{8}}\mathrm{.}$$よって$$a+b={\displaystyle \frac{5}{4}},ab={\displaystyle \frac{5}{16}}\mathrm{.}$$(2)$$r={\displaystyle \frac{a+b}{a}},s={\displaystyle \frac{a+b}{b}}$$とおけば$$r={\displaystyle \frac{5+\sqrt{5}}{2}},s={\displaystyle \frac{5-\sqrt{5}}{2}}\mathrm{.}$$したがって $r,s$ は $X^2-5X+5=0$ の2根である。べき和$$U_n=r^n+s^n$$は$$U_n=5U_{n-1}-5U_{n-2}(n\geqq 2)$$を満たす。ただし $U_0=2,U_1=5$ は整数であるから、帰納法により
すべての $n$ で $U_n$ は整数である。一方$$U_n={\left({\displaystyle \frac{a+b}{a}}\right)}^n+{\left({\displaystyle \frac{a+b}{b}}\right)}^n=(a^{-n}+b^{-n})(a+b{)}^n\mathrm{.}$$よって問題の数は整数である。自然数を $1,2,\dots$ とする流儀でも、
$n=1$ から同じ結論になる。