東京大学 1985年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第2問

$OA$ は正の $x$ 軸である。そこで $$\mathrm{\angle }AOP=\theta (0\leqq \theta <2\pi )$$ とおく。このとき条件より，$OP$ から同じ角だけ正の向きに回ったところが $OQ$ であるから，$Q$ の偏角は $2\theta$ である。したがって $$P=(\cos \theta ,\sin \theta ),Q=(\cos 2\theta ,\sin 2\theta )$$ である。

点 $R,S$ はそれぞれ $P,Q$ から $x$ 軸へ下ろした垂線の足なので，$$R=(\cos \theta ,0),S=(\cos 2\theta ,0)$$ である。よって $$RS=\mathrm{\mid }\cos 2\theta -\cos \theta \mathrm{\mid }$$ である。

ここで $$u=\cos \theta (-1\leqq u\leqq 1)$$ とおくと $\cos 2\theta =2u^2-1$ なので $l=\mathrm{\mid }2u^2-u-1\mathrm{\mid }$ である。したがって，関数 $$g(u)=2u^2-u-1(-1\leqq u\leqq 1)$$ について $\mathrm{\mid }g(u)\mathrm{\mid }=l$ の解を数えればよい。 $g(u)$ は上に開く放物線で，$$g(-1)=2,g\left({\displaystyle \frac{1}{4}}\right)=-{\displaystyle \frac{9}{8}},g(1)=0$$ である。また零点は $$u=-{\displaystyle \frac{1}{2}},u=1$$ である。

まず $g(u)=l$ を考える。$0\leqq l\leqq 2$ のとき，$[-1,1]$ 内の解は左側に1つある。ただし $l=0$ では $u=1$ も解になり，$l=2$ では解は $u=-1$ である。

次に $g(u)=-l$ を考える。$0<l<9\mathrm{/}8$ のとき，$[-1,1]$ 内に2つの解がある。$l=9\mathrm{/}8$ のときは $u=1\mathrm{/}4$ の1つだけで，$l>9\mathrm{/}8$ では解はない。

最後に，$u=\cos \theta$ に戻して個数を数える。$-1<u<1$ の1つの $u$ には2つの $\theta$ が対応する。一方，$u=1$ には $\theta =0$ の1通り，$u=-1$ には $\theta =\pi$ の1通りだけが対応する。

以上より，求める位置の数は$$\begin{array}{cc}l& \text{位置の数}\\ 0& 3\\ 0<l<{\displaystyle \frac{9}{8}}& 6\\ l={\displaystyle \frac{9}{8}}& 4\\ {\displaystyle \frac{9}{8}}<l<2& 2\\ l=2& 1\\ l>2& 0\end{array}$$である。

$u=\cos \theta$ と置き、$l=\mathrm{\mid }2u^2-u-1\mathrm{\mid }$ の水平線との交点数を放物線のグラフで数える。端点 $u=\pm 1$ だけ偏角が1通りになることを最後に補正する。

$P$ の偏角を $\theta$ とすれば $Q$ の偏角は $2\theta$ である。したがって$$l=\mathrm{\mid }\cos 2\theta -\cos \theta \mathrm{\mid }\mathrm{.}$$$u=\cos \theta$ とおくと$$l=\mathrm{\mid }g(u)\mathrm{\mid },g(u)=2u^2-u-1,-1\leqq u\leqq 1.$$放物線の頂点は $(1\mathrm{/}4,-9\mathrm{/}8)$、端点の値は $g(-1)=2,g(1)=0$ である。水平線 $y=l$、$y=-l$ との交点を数し、$-1<u<1$ の解は偏角2通り、$u=\pm 1$ は1通りと戻す。結果は$$\begin{array}{cc}l& (P,Q)\text{ の位置の数}\\ 0& 3\\ 0<l<9\mathrm{/}8& 6\\ l=9\mathrm{/}8& 4\\ 9\mathrm{/}8<l<2& 2\\ l=2& 1\\ l>2& 0\end{array}$$である。