東京大学 1993年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第6問

(1)

速度ベクトルは$$({\displaystyle \frac{dx}{dt}},{\displaystyle \frac{dy}{dt}})=(-2\sin t-2\sin 2t,2\cos 2t)$$である。$c=\cos t$ とおくと，$\sin 2t=2\sin t\cos t$，$\cos 2t=2c^2-1$ より，速さの二乗は $(-2\sin t-2\sin 2t{)}^2+(2\cos 2t{)}^2$ $$=4(1-c^2)(1+2c{)}^2+4(2c^2-1{)}^2$$ $=-16c^3-4c^2+16c+8$ である。これを $F(c)$ とおく。 $-1\leqq c\leqq 1$ で $$F^{\mathrm{\prime }}(c)=-48c^2-8c+16=-8(2c-1)(3c+2)$$ である。したがって調べる値は $$c=-1,c=-{\displaystyle \frac{2}{3}},c={\displaystyle \frac{1}{2}},c=1$$ である。それぞれ$$F(-1)=4,F(-{\displaystyle \frac{2}{3}})={\displaystyle \frac{8}{27}},F\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)=13,F(1)=4$$となる。速さは速さの二乗の平方根であるから，最大値は $\sqrt{13}$ であり，最小値は $$\sqrt{{\displaystyle \frac{8}{27}}}={\displaystyle \frac{2\sqrt{6}}{9}}$$ である。

(2) $c=\cos t$ とおくと $$x=2c+\cos 2t=2c+2c^2-1=2c^2+2c-1,$$ $y=\sin 2t=2c\sin t$ である。2つの時刻 $t,u$ で同じ点を通るとし，$$c=\cos t,d=\cos u$$ とおく。$x$ 座標が等しいことから $2c^2+2c-1=2d^2+2d-1$ であり，$(c-d)(c+d+1)=0$ を得る。

まず $c=d$ の場合を考える。異なる時刻で同じ余弦をもつなら，$0\leqq t,u<2\pi$ では $\sin u=-\sin t$ である。$y$ 座標も等しいためには $$2c\sin t=2c\sin u=-2c\sin t$$ が必要なので $c\sin t=0$ である。異なる時刻を与えるのは $c=0$ のときで，このとき点は $(x,y)=(-1,0)$ である。

次に $c+d+1=0$ の場合を考える。すなわち $d=-1-c$ である。$y$ 座標の等しさから $c\sin t=d\sin u$ である。両辺を2乗し，$d=-1-c$ と ${\sin }^{2}t=1-c^2$，${\sin }^{2}u=1-d^2$ を用いると $c^2(1-c^2)=d^2(1-d^2)$ である。左辺から右辺を引いて整理すると $2c(c+1)(2c+1)=0$ となる。$c=-1\mathrm{/}2$ は $d=c$ であり，異なる2時刻で同じ点を新しく与えない。$c=0$ または $c=-1$ のときは，いずれも $(x,y)=(-1,0)$ である。

以上より，$0\leqq t<2\pi$ の間に2回以上通過する点はただ一つ $(-1,0)$ である。この点を通る時刻は $$t={\displaystyle \frac{\pi }{2}},t=\pi ,t={\displaystyle \frac{3\pi }{2}}$$ である。

速度ベクトルは $(-2\sin t-2\sin 2t,2\cos 2t)$ であるから，各時刻で $$t={\displaystyle \frac{\pi }{2}}:(-2,-2),$$ $t=\pi :(0,2),$ $$t={\displaystyle \frac{3\pi }{2}}:(2,-2)$$ となる。図では点 $(-1,0)$ に，左下向き，上向き，右下向きの3本の速度ベクトルをそれぞれ描けばよい。

(1) では微分後の速さの二乗を、最大値・最小値との差として完全に
因数分解し、微分を使わずに両端を評価する。(2)では
$c=\cos t$ による2枝表示を作り、同じ $x$ をもつ2点が
同じ $y$ ももつ条件から自己交点だけを抽出する。

(1)

$c=\cos t$ と置く。速度ベクトルは$$(-2\sin t-2\sin 2t,2\cos 2t)$$であり、速さの二乗を $F(c)$ とすると$$F(c)=-16c^3-4c^2+16c+8(-1\leqq c\leqq 1)\mathrm{.}$$これは次の2通りに因数分解できる。$$13-F(c)=(2c-1{)}^2(4c+5)\geqq 0,$$$$F(c)-{\displaystyle \frac{8}{27}}=-{\displaystyle \frac{4}{27}}(3c+2{)}^2(12c-13)\geqq 0.$$後者では $12c-13<0$ を用いた。等号はそれぞれ
$c=1\mathrm{/}2$、$c=-2\mathrm{/}3$ で実現する。したがって速さの最大値は$$\sqrt{13},$$最小値は$$\sqrt{{\displaystyle \frac{8}{27}}}={\displaystyle \frac{2\sqrt{6}}{9}}$$である。

(2)

$c=\cos t$ とすると$$x=2c^2+2c-1,y=2c\sin t\mathrm{.}$$同じ $x$ を与える2つの余弦を $c,d$ とすれば$$(c-d)(c+d+1)=0.$$$c=d$ で異なる時刻を取る場合、正弦の符号が逆になる。
$y$ まで等しいためには $c\sin t=0$ であり、新たな重複は
$c=0$、すなわち $(-1,0)$ だけである。

$c+d+1=0$ の場合は、$y$ の等式を2乗すると$$c^2(1-c^2)=d^2(1-d^2)\mathrm{.}$$$d=-1-c$ を代入して$$2c(c+1)(2c+1)=0.$$$c=-1\mathrm{/}2$ は $c=d$ で新しい2時刻を与えず、$c=0,-1$ は
いずれも $(-1,0)$ を与える。よって重複点は唯一
$(-1,0)$ である。

通過時刻と速度は$$\begin{array}{cc}t& (dx\mathrm{/}dt,dy\mathrm{/}dt)\\ \pi \mathrm{/}2& (-2,-2)\\ \pi & (0,2)\\ 3\pi \mathrm{/}2& (2,-2)\end{array}$$となる。