東京大学 1988年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第6問

点 $O$ を原点とし、$OA=1$ である。四面体 $ABCD$ の底面を三角形 $BCD$ と見て考える。

平面 $BCD$ が点 $O$ から距離 $u$ の位置にあるとする。ただし $0\leqq u\leqq 4$ である。3点 $B,C,D$ はいずれも $O$ を中心とする半径 $4$ の球面上にあるので、平面 $BCD$ とこの球面の交わりは半径 $$R=\sqrt{16-u^2}$$ の円である。

この円の上に3点 $B,C,D$ を取るとき、三角形 $BCD$ の面積は、円に内接する正三角形のとき最大になる。その最大面積は、外接円半径 $R$ の正三角形の面積なので $${\displaystyle \frac{3\sqrt{3}}{4}}{R}^2={\displaystyle \frac{3\sqrt{3}}{4}}(16-u^2)$$ である。

次に高さを考える。平面 $BCD$ から点 $A$ までの距離は、平面が $A$ と反対側にあるとき最大となり、その最大値は $1+u$ である。したがって、どのように $B,C,D$ を取っても体積 $V$ は$$V\leqq {\displaystyle \frac{1}{3}}\cdot {\displaystyle \frac{3\sqrt{3}}{4}}(16-u^2)(1+u)={\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{4}}(16-u^2)(1+u)$$を満たす。逆に、平面を $A$ と反対側に取り、その円周上で $B,C,D$ を正三角形にすれば、この上限は実現できる。

よって $$F(u)=(16-u^2)(1+u)(0\leqq u\leqq 4)$$ の最大値を求めればよい。微分すると $$F^{\mathrm{\prime }}(u)=-2u(1+u)+(16-u^2)=16-2u-3u^2$$ である。したがって $F^{\mathrm{\prime }}(u)=0$ は $3u^2+2u-16=0$ すなわち $(3u+8)(u-2)=0$ である。範囲 $0\leqq u\leqq 4$ にある解は $u=2$ である。端点では $F(0)=16,F(4)=0$ であり、$F(2)=(16-4)\cdot 3=36$ だから、最大は $u=2$ のときである。

したがって最大体積は $$V_{\max }={\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{4}}\cdot 36=9\sqrt{3}$$ である。

底面 $BCD$ から $A$ までの高さを $h$ とする。平面と球の交円半径を $h$ で表し、正三角形が底面積を最大にすることを用いる。最後は微分せず平方因数で上限を示す。

最大配置では、平面 $BCD$ を $O$ から見て $A$ の反対側に置けばよい。
$O$ と平面 $BCD$ の距離を $u$ とすると、$A$ から底面までの高さは$$h=1+u,0\leqq u\leqq 4.$$また、半径4の球と平面 $BCD$ の交円半径は$$R=\sqrt{16-u^2}\mathrm{.}$$半径 $R$ の円に内接する三角形の面積は正三角形のとき最大で、その値は$${\displaystyle \frac{3\sqrt{3}}{4}}{R}^2\mathrm{.}$$したがって四面体の体積は$$V\leqq {\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{4}}(16-u^2)(1+u)\mathrm{.}$$ここで$$\begin{array}{rl}{\displaystyle 36-(16-u^2)(1+u)}& {\displaystyle =(u-2{)}^2(u+5)}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle \geqq 0.}\end{array}$$よって$$(16-u^2)(1+u)\leqq 36,$$等号は $u=2$ のときに成立する。
このとき交円上で $B,C,D$ を正三角形に取れば、底面積と高さの上限を同時に実現できる。
したがって$$V_{\max }={\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{4}}\cdot 36=9\sqrt{3}\mathrm{.}$$