東京大学 1987年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第3問

球面 $K$ は $x^2+y^2+(z-1{)}^2=1$ である。点 $Q(a,b,c)$ はこの球面上にあるので $a^2+b^2+(c-1{)}^2=1$ を満たす。また条件より $a>0,b>0,c>1$ である。 $Q$ における接平面 $L$ は、半径方向のベクトル $(a,b,c-1)$ を法線にもつ。したがって $$a(x-a)+b(y-b)+(c-1)(z-c)=0$$ である。これを整理し、$a^2+b^2+(c-1{)}^2=1$ を用いると $ax+by+(c-1)z=c$ となる。

この平面と各軸との交点は$$A=({\displaystyle \frac{c}{a}},0,0),B=(0,{\displaystyle \frac{c}{b}},0),C=(0,0,{\displaystyle \frac{c}{c-1}})$$である。四面体 $OABC$ の体積は$${\displaystyle \frac{1}{6}}\cdot {\displaystyle \frac{c}{a}}\cdot {\displaystyle \frac{c}{b}}\cdot {\displaystyle \frac{c}{c-1}}={\displaystyle \frac{c^3}{6ab(c-1)}}$$である。一方、原点から平面 $L$ までの距離は、法線ベクトルの長さが1であるため $c$ である。したがって $${\displaystyle \frac{1}{3}}[ABC]\cdot c={\displaystyle \frac{c^3}{6ab(c-1)}}$$ より $$[ABC]={\displaystyle \frac{c^2}{2ab(c-1)}}$$ を得る。

ここで $$a^2+b^2=1-(c-1{)}^2=c(2-c)$$ であり、$a,b>0$ だから $1<c<2$ である。固定した $c$ に対して $$ab\leqq {\displaystyle \frac{a^2+b^2}{2}}={\displaystyle \frac{c(2-c)}{2}}$$ である。等号は $a=b$ のときである。よって$$[ABC]\geqq {\displaystyle \frac{c^2}{2\cdot {\displaystyle \frac{c(2-c)}{2}}\cdot (c-1)}}={\displaystyle \frac{c}{(c-1)(2-c)}}$$である。

あとは $$G(c)={\displaystyle \frac{c}{(c-1)(2-c)}}(1<c<2)$$ の最小値を求めればよい。逆数を考えると $${\displaystyle \frac{1}{G(c)}}={\displaystyle \frac{(c-1)(2-c)}{c}}=3-c-{\displaystyle \frac{2}{c}}$$ である。$c>0$ に対して $c+{\displaystyle \frac{2}{c}}\geqq 2\sqrt{2}$ であり、等号は $c=\sqrt{2}$ のときである。したがって ${\displaystyle \frac{1}{G(c)}}\leqq 3-2\sqrt{2}$ であり、$$G(c)\geqq {\displaystyle \frac{1}{3-2\sqrt{2}}}=3+2\sqrt{2}$$ である。等号は $c=\sqrt{2}$、かつ $a=b$ のときに成り立つ。よって面積の最小値は $3+2\sqrt{2}$ である。

接平面の単位法線は $(a,b,c-1)$ である。三角形 $ABC$ の $xy$ 平面への正射影は三角形 $ABO$ なので、射影面積と法線の $z$ 成分から面積を求める。後半は $a^2+b^2=c(2-c)$ と相加相乗平均で最小化する。

接平面は$$ax+by+(c-1)z=c$$であり、その法線 $(a,b,c-1)$ の長さは球の半径と同じ1である。各軸との交点は$$A=({\displaystyle \frac{c}{a}},0,0),B=(0,{\displaystyle \frac{c}{b}},0),C=(0,0,{\displaystyle \frac{c}{c-1}})\mathrm{.}$$三角形 $ABC$ を $xy$ 平面へ正射影すると、$C$ は原点 $O$ へ移るので三角形 $ABO$ になる。その面積は$$[ABO]={\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot {\displaystyle \frac{c}{a}}\cdot {\displaystyle \frac{c}{b}}={\displaystyle \frac{c^2}{2ab}}\mathrm{.}$$接平面の単位法線と $z$ 軸方向のなす角の余弦は $c-1>0$ である。射影面積の関係から$$[ABO]=(c-1)[ABC],$$したがって$$[ABC]={\displaystyle \frac{c^2}{2ab(c-1)}}\mathrm{.}$$球面条件から$$a^2+b^2=c(2-c),1<c<2.$$固定した $c$ では$$2ab\leqq a^2+b^2=c(2-c)$$であり、等号は $a=b$ のときである。よって$$[ABC]\geqq {\displaystyle \frac{c}{(c-1)(2-c)}}\mathrm{.}$$さらに$${\displaystyle \frac{(c-1)(2-c)}{c}}=3-c-{\displaystyle \frac{2}{c}}\leqq 3-2\sqrt{2}$$で、等号は $c=\sqrt{2}$ のときである。したがって$$[ABC]\geqq {\displaystyle \frac{1}{3-2\sqrt{2}}}=3+2\sqrt{2}\mathrm{.}$$全ての等号条件は両立するので、最小値は $3+2\sqrt{2}$ である。