Evolton
方針
回転体は で表される放物面状の立体である。光源は対称性により に置ける。光と影の境界は、光源で立体に接する平面と 平面との交線になるので、まず接平面を求める。円 の照らされる部分は直線 の右側の弧になり、弧長条件から半径と中心角を決め、影の弧長を出す。
解答
立体 は、 軸からの距離を とすると で表される。 の表面上では である。回転対称性により、光源を としてよい。
表面は である。点 における接平面を求める。 の 方向の傾きは 、 方向の傾きは なので、点 では である。したがって接平面は である。この平面と 平面 との交線は である。
この直線が、 平面上で光が当たる部分とかげの部分の境界になる。実際、点 へ向かう線分は立体の内部を通るので光は届かず、十分右側の点へ向かう線分は接平面の外側を通るので光が届く。よって円 上で光が当たるのは の側の弧である。
円 の半径を とする。光が当たる弧の中心角の半分を とおくと、境界点では である。また、光が当たる部分の弧長が なので すなわち である。
第1式から であり、これを に代入すると となる。関数 は で増加するので、解は高々1つである。実際 はを満たす。したがって である。
円周全体の長さは であり、そのうち光が当たる部分の長さが である。よって、かげの部分の長さは である。
別解
解法2：光源を通る鉛直断面で接線を引く
方針
光源と 軸を通る平面で立体を切ると、境界は放物線になる。光と影の境界線は光源での接線なので、床との交点を高校数学の1変数微分で求める。
解答
回転対称性から としてよい。
と 軸を通る鉛直平面 で切ると、立体の境界はである。 における接線の傾きは だから、光と影の境界となる接線はすなわち床 との交点は である。
3次元では、この接線を 方向へ広げた平面が光と影の境界になるため、
床上の境界線は原点へ向かう光線は立体内部を通るので、照らされるのはこの直線の右側である。
円 の半径を 、照らされる弧の中心角を とする。
境界弦までの距離と弧長からしたがって 。 を代入すると両式を満たし、
で は単調増加なので解はこれだけである。
よって円周は 、照らされる弧は だから、かげの長さはである。
総評
難度は10段階で7、計算量は10段階で6程度。試験場では35分前後を見込む。立体を3次元のまま追うより、光と影の境界が接平面で決まることを見抜くのが中心である。光が当たる側を逆にすると答えが変わるため、原点側がかげになることを一言確認しておきたい。弧長条件では と の2式を立て、 を導く流れを省かないことが重要である。