東京大学 1986年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第3問

(1) $\vec{n}=(p,q,r)$ とおく。$$\overrightarrow{AB}=(0,{\displaystyle \frac{1}{2}},{\displaystyle \frac{1}{2}}),\overrightarrow{AC}=(1,0,{\displaystyle \frac{1}{2}})\mathrm{.}$$直交条件より $q+r=0,2p+r=0$ なので$$\vec{n}=(p,2p,-2p)\mathrm{.}$$長さが1であることから $9p^2=1$ となり$${\vec{n}}_0=\pm ({\displaystyle \frac{1}{3}},{\displaystyle \frac{2}{3}},-{\displaystyle \frac{2}{3}})\mathrm{.}$$(2) 直線 $l$ の方向の単位ベクトルを$$\vec{u}=(-{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}},{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}},0)$$とする。${\vec{n}}_0=(1\mathrm{/}3,2\mathrm{/}3,-2\mathrm{/}3)$、$y$ 方向の単位ベクトルを $\vec{e}=(0,1,0)$ とおくと$${\vec{n}}_0\cdot \vec{u}={\displaystyle \frac{1}{3\sqrt{2}}},\vec{e}\cdot \vec{u}={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}}\mathrm{.}$$したがって軸方向成分どうしの内積は常に $1\mathrm{/}6$ である。

軸に垂直な成分の長さはそれぞれ$$\sqrt{1-{\displaystyle \frac{1}{18}}}=\sqrt{{\displaystyle \frac{17}{18}}},\sqrt{1-{\displaystyle \frac{1}{2}}}={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}}\mathrm{.}$$回転によって両成分の内積は$$-{\displaystyle \frac{\sqrt{17}}{6}}\leqq \text{垂直成分の寄与}\leqq {\displaystyle \frac{\sqrt{17}}{6}}$$をすべて動く。よって$${\displaystyle \frac{1-\sqrt{17}}{6}}\leqq y\leqq {\displaystyle \frac{1+\sqrt{17}}{6}}\mathrm{.}$$この区間は0を含むから$$\min \mathrm{\mid }y\mathrm{\mid }=0,\max \mathrm{\mid }y\mathrm{\mid }={\displaystyle \frac{1+\sqrt{17}}{6}}\mathrm{.}$$

回転軸方向 $\vec{u}$、水平な直交方向 $\vec{v}$、鉛直方向 $\vec{w}$ を単位ベクトルとして取る。法線の $\vec{v},\vec{w}$ 成分を三角関数で回転させ、$y$ 成分を中心値と正弦波の振幅に分ける。

(1) 二本の内積条件を解けば$${\vec{n}}_0=\pm ({\displaystyle \frac{1}{3}},{\displaystyle \frac{2}{3}},-{\displaystyle \frac{2}{3}})$$である。

(2) 次の互いに直交する単位ベクトルを取る。$$\vec{u}=(-{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}},{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}},0),\vec{v}=({\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}},{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}},0),\vec{w}=(0,0,1)\mathrm{.}$$$\vec{u}$ は回転軸方向である。正の方の ${\vec{n}}_0$ の成分は$${\vec{n}}_0\cdot \vec{u}={\displaystyle \frac{1}{3\sqrt{2}}},{\vec{n}}_0\cdot \vec{v}={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}},{\vec{n}}_0\cdot \vec{w}=-{\displaystyle \frac{2}{3}}\mathrm{.}$$回転後も $\vec{u}$ 成分は一定で、$\vec{v}$ 成分は$${\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}}\cos \theta +{\displaystyle \frac{2}{3}}\sin \theta$$の形で変化する。$y$ 方向の単位ベクトルは$$(0,1,0)={\displaystyle \frac{\vec{u}+\vec{v}}{\sqrt{2}}}$$だから$$y={\displaystyle \frac{1}{6}}+{\displaystyle \frac{1}{2}}\cos \theta +{\displaystyle \frac{2}{3\sqrt{2}}}\sin \theta \mathrm{.}$$後二項の振幅は$$\sqrt{{\displaystyle \frac{1}{4}}+{\displaystyle \frac{2}{9}}}={\displaystyle \frac{\sqrt{17}}{6}}\mathrm{.}$$したがって $y$ の範囲は解法1と同じであり$$\min \mathrm{\mid }y\mathrm{\mid }=0,\max \mathrm{\mid }y\mathrm{\mid }={\displaystyle \frac{1+\sqrt{17}}{6}}$$を得る。符号を反対にした法線も絶対値の範囲を変えない。