東大 1990年度理系（後期）数学第2問｜問題・解答・解説

東京大学 1990年度後期日程第2次学力試験理系（後期）数学第2問

$A = (\begin{array}{cc} \frac{1}{2} & - \frac{\sqrt{3}}{2} \\ \frac{\sqrt{3}}{2} & \frac{1}{2} \end{array})$ とし，
$P_{0}$ を $x y$ 平面上の原点とする．
$i = 1, \dots, 6$ に対して，
$a_{i}$ を正の実数とし，
$(\begin{array}{c} x_{i} \\ y_{i} \end{array}) = A^{i} (\begin{array}{c} a_{i} \\ 0 \end{array})$ とおいたとき，
点 $P_{i}$ を $\vec{P_{i - 1} P_{i}} = (x_{i}, y_{i})$ となるように定める．
ただし，このとき $P_{6} = P_{0}$ となっているものとする．
$P_{0}, P_{1}, \dots, P_{6}$ を順に結んで得られる六角形を $H$ とおく．

(1) $a_{1} - a_{4} = a_{5} - a_{2} = a_{3} - a_{6}$ であることを示せ．

(2) $\sum_{i = 1}^{6} a_{i} = 6$ ， $a_{1} - a_{4} = 1$ とするとき， $H$ の面積の最大値を求めよ．

(3) $\sum_{i = 1}^{6} a_{i} = 6$ とするとき， $H$ の面積の最大値を求めよ．

難易度8/ 10計算量8/ 10目安35分

方針

行列 $A$ は $60^{\circ}$ 回転を表すので、六辺の方向は順に $60^{\circ}$ ずつ変わる。閉じる条件を $x, y$ 成分に分けて(1)を得る。(2)(3)では共通差 $d$ と三つの基準長 $x, y, z$ を導入し、六角形の面積を二次式にして $x y + y z + z x ≦ (x + y + z)^{2} / 3$ を使う。

解答

(1)

第 $i$ 辺の方向は正の $x$ 軸を $i π / 3$ だけ回転した方向である。 $P_{6} = P_{0}$ の $y$ 成分から $a_{1} + a_{2} - a_{4} - a_{5} = 0,$ したがって $a_{1} - a_{4} = a_{5} - a_{2} .$ また $x$ 成分を2倍して $a_{1} - a_{2} - 2 a_{3} - a_{4} + a_{5} + 2 a_{6} = 0.$ 前式を代入すると $a_{1} - a_{4} = a_{3} - a_{6} .$ よって $a_{1} - a_{4} = a_{5} - a_{2} = a_{3} - a_{6} .$ (2)

共通の差を $d$ とし $x = a_{4}, y = a_{2}, z = a_{6}$ とおくと $(a_{1}, a_{2}, a_{3}, a_{4}, a_{5}, a_{6}) = (x + d, y, z + d, x, y + d, z) .$ 六角形の面積を $K$ とする。各頂点を辺ベクトルの累積和で表し、座標の面積公式で整理すると $\frac{K}{\sqrt{3}} = \frac{1}{2} (x y + y z + z x) + \frac{d}{2} (x + y + z) + \frac{d^{2}}{4} .$ $\sum a_{i} = 6$ より $x + y + z = 3 - \frac{3 d}{2} .$ 固定した和に対し $x y + y z + z x ≦ \frac{(x + y + z)^{2}}{3}$ で、等号は $x = y = z$ のときである。したがって $K ≦ \sqrt{3} (\frac{3}{2} - \frac{d^{2}}{8}) .$ ここでは $d = 1$ なので $K_{\max} = \frac{11 \sqrt{3}}{8} .$ 等号は $x = y = z = 1 / 2$ のときに実現する。

(3)

上の評価で $d$ も動かすと $K ≦ \sqrt{3} (\frac{3}{2} - \frac{d^{2}}{8}) ≦ \frac{3 \sqrt{3}}{2} .$ $d = 0, x = y = z = 1$ 、すなわち $a_{1} = \dots = a_{6} = 1$ の正六角形で等号が実現する。よって $K_{\max} = \frac{3 \sqrt{3}}{2} .$

総評

目安は35分。(1)は閉曲線条件を成分で書く基本点、(2)(3)は面積式の整理と等号条件が配点の中心である。差 $d$ の対応を $a_{1} - a_{4} = a_{5} - a_{2} = a_{3} - a_{6}$ の順に正しく置くこと、最大値だけでなく正の辺長で等号が実現する例を示すことが重要。

出典: 東京大学 1990年度後期理科第2問（大学公式の問題PDF）。問題文はHTML表示のために再入力・数式組版しています。

東京大学 1990年度 後期日程 第2次学力試験理系（後期）数学 第2問

方針

解答

総評

東京大学 1990年度後期日程第2次学力試験理系（後期）数学第2問