東京大学 1989年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第1問

交点を $(\alpha ,\beta )$ とする。第1象限の点なので $\alpha >0,\beta >0$ であり、条件より $\alpha \mathrm{\ne }\beta$ である。2本の曲線の式から $$\beta =k(\alpha -{\alpha }^3),\alpha =k(\beta -{\beta }^3)$$ が成り立つ。

まず2式を引くと $$\beta -\alpha =k\{\alpha -\beta -({\alpha }^3-{\beta }^3)\}$$ である。ここで $${\alpha }^3-{\beta }^3=(\alpha -\beta )({\alpha }^2+\alpha \beta +{\beta }^2)$$ だから $$\beta -\alpha =k(\alpha -\beta )\{1-({\alpha }^2+\alpha \beta +{\beta }^2)\}\mathrm{.}$$ $\alpha \mathrm{\ne }\beta$ より $\alpha -\beta \mathrm{\ne }0$ なので、両辺を $\alpha -\beta$ で割って $${\alpha }^2+\alpha \beta +{\beta }^2=1+\frac{1}{k}$$ を得る。

次に2式を掛ける。$\alpha \beta >0$ で割ると $$1=k^2(1-{\alpha }^2)(1-{\beta }^2)$$ である。ここで $$u=\alpha +\beta ,v=\alpha \beta$$ とおくと、先ほどの式は $u^2-v=1+\frac{1}{k}$ となる。また積の式は $$1=k^2(1-{\alpha }^2-{\beta }^2+{\alpha }^2{\beta }^2)=k^2(1-u^2+2v+v^2)$$ である。$u^2=1+\frac{1}{k}+v$ を代入すると $$1=k^2(v^2+v-\frac{1}{k})$$ すなわち $$v^2+v=\frac{1}{k}+\frac{1}{k^2}$$ である。これを解くと $$(v-\frac{1}{k})(v+1+\frac{1}{k})=0$$ である。$v=\alpha \beta >0$ だから $v=\frac{1}{k}$ であり、特に $k>0$ である。さらに $u^2=1+\frac{2}{k}$ である。

正の異なる $\alpha ,\beta$ が存在するためには、2次方程式 $t^2-ut+v=0$ が正の異なる2解をもてばよい。ここで $u>0$, $v>0$ なので、必要十分条件は判別式が正であること、すなわち $u^2-4v>0$ である。上の値を代入すると $1+\frac{2}{k}-\frac{4}{k}>0$ だから $1-\frac{2}{k}>0.$ $k>0$ と合わせて $k>2$ を得る。

逆に $k>2$ なら、$$u=\sqrt{1+2\mathrm{/}k}$$, $v=1\mathrm{/}k$ として、正の異なる2解 $\alpha ,\beta$ をもつ2次方程式を作れる。このとき $${\alpha }^2+{\beta }^2=u^2-2v=1$$ であり、$k\alpha \beta =1$ だから$$k\alpha (1-{\alpha }^2)=k\alpha {\beta }^2=\beta ,k\beta (1-{\beta }^2)=k\beta {\alpha }^2=\alpha$$となる。したがって実際に2曲線は第1象限で $\alpha \mathrm{\ne }\beta$ の交点をもつ。

よって求める範囲は $k>2$ である。