東京大学 1990年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第3問

条件を満たす一組を構成する。導関数は $f^{\mathrm{\prime }}(x)=4x^3+3a{x}^2+b$ である。ここで $a=-2,b=1$ とおくと $f^{\mathrm{\prime }}(x)=4x^3-6x^2+1$ であり、これは $f^{\mathrm{\prime }}(x)=(2x-1)(2x^2-2x-1)$ と因数分解できる。したがって極値をとる点は $$x=\frac{1-\sqrt{3}}{2},x=\frac{1}{2},x=\frac{1+\sqrt{3}}{2}$$ である。

これらを $$p=\frac{1-\sqrt{3}}{2},q=\frac{1}{2},r=\frac{1+\sqrt{3}}{2}$$ とおくと、確かに $p<0<q<1<r<2$ を満たす。

次に $c=0$ とおく。このとき $f(x)=x^4-2x^3+x$ であり、因数分解すると $$f(x)=x(x^3-2x^2+1)=x(x-1)(x^2-x-1)$$ である。したがって $f(x)=0$ の解は $$x=0,x=1,x=\frac{1-\sqrt{5}}{2},x=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$$ であり、4個とも相異なる実数である。

以上より、例えば $$a=-2,b=1,c=0,$$ $$p=\frac{1-\sqrt{3}}{2},q=\frac{1}{2},r=\frac{1+\sqrt{3}}{2}$$ と定めれば、条件(i)、(ii)をともに満たす。