東京大学 1990年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第2問

(1)
極大値を1とる点を $u$、極小値を $-1$ とる点を $v$ とする。3次関数で、端点条件が $h(-1)=-1,h(1)=1$ であることから、極大点は極小点より左にあり、$-1<u<v<1$ である。 $h(x)-1$ は $x=1$ を根にもち、さらに極大点 $u$ では $h(u)=1$、$h^{\mathrm{\prime }}(u)=0$ だから $x=u$ を重解にもつ。したがって、ある定数 $A$ を用いて $h(x)-1=A(x-u{)}^2(x-1)$ と書ける。同様に、$h(x)+1$ は $x=-1$ を根にもち、極小点 $v$ で重解をもつので $h(x)+1=A(x-v{)}^2(x+1)$ である。両式の最高次係数は同じなので、定数は同じ $A$ でよい。

2式を引くと $$-2=A\{(x-u{)}^2(x-1)-(x-v{)}^2(x+1)\}$$ である。右辺の braces の中を展開すると、$x^2$ の係数は $-2u+2v-2$、$x$ の係数は $u^2+2u-v^2+2v$ である。左辺は定数なので $-2u+2v-2=0,$ $u^2+2u-v^2+2v=0$ が必要である。第1式から $v=u+1$ であり、これを第2式へ代入すると $$u=-\frac{1}{2},v=\frac{1}{2}$$ を得る。

このとき $$(x-u{)}^2(x-1)-(x-v{)}^2(x+1)=-\frac{1}{2}$$ なので、$-2=A(-\frac{1}{2})$ より $A=4$ である。したがって $$h(x)-1=4{(x+\frac{1}{2})}^2(x-1)$$ となり、展開して $h(x)=4x^3-3x$ である。(2)
まず $x>1$ とする。4つの節点 $-1,-\frac{1}{2},\frac{1}{2},1$ を用いる。3次関数はこの4点での値によって一意に決まるので、任意の3次式はこれらの点での値を使って表せる。$x>1$ における4つの基本式の符号は、左から順に $-,+,-,+$ である。

一方、$h$ の節点での値は $-1,1,-1,1$ である。また、条件 $-1<f(x)<1$ が $-1<x<1$ で成り立つので、連続性から端点でも $$-1\leqq f(-1)\leqq 1,-1\leqq f(1)\leqq 1$$ である。したがって、各節点における $h-f$ の符号は、上の基本式の符号と同じ向きになる。特に内部の2点 $-\frac{1}{2},\frac{1}{2}$ では不等号は厳密であるから、補間表示により $h(x)-f(x)>0$ である。

同じように $h+f$ を見ると、各節点における $h+f$ の符号も基本式の符号と同じ向きになる。内部の2点で厳密なので $h(x)+f(x)>0$ である。よって $x>1$ では $-h(x)<f(x)<h(x)$ が成り立つ。ここで $h(x)>0$ であるから $\mathrm{\mid }f(x)\mathrm{\mid }<\mathrm{\mid }h(x)\mathrm{\mid }$ である。 $x<-1$ の場合は、$F(X)=-f(-X)$ とおけば、$F$ も区間 $-1,1$ で $-1,1$ の間に入る3次関数である。上で示した $X>1$ の結果を $F$ に適用し、$X=-x$ と戻せば $\mathrm{\mid }f(x)\mathrm{\mid }<\mathrm{\mid }h(x)\mathrm{\mid }$ が従う。したがって $\mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }>1$ の任意の実数 $x$ で不等式が成り立つ。