東京大学 1988年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第3問

点 $P$ を $P=(X,Y)$ とおく。元の曲線を $$C:y=x^3-x,-1\leqq x\leqq 1$$ とする。

平行移動の横方向の移動量を $p$、縦方向の移動量を $q$ とする。移動後の曲線は $y=(x-p{)}^3-(x-p)+q$ であり、この曲線が $P=(X,Y)$ を通るためには $q=Y-\{(X-p{)}^3-(X-p)\}$ でなければならない。また、点 $P$ が移動後のもとの区間に対応するため、$-1\leqq X-p\leqq 1$ すなわち $X-1\leqq p\leqq X+1$ が必要である。

元の曲線と移動後の曲線の共有点は $x^3-x=(x-p{)}^3-(x-p)+q$ で決まる。左辺から右辺を引いた式を $$F_p(x)=x^3-x-\{(x-p{)}^3-(x-p)+q\}$$ とおく。$p\mathrm{\ne }0$ のとき、これは $x$ の2次式である。共有点として許される $x$ の範囲は、$p>0$ のとき $p-1\leqq x\leqq 1$ であり、$p<0$ のとき $-1\leqq x\leqq p+1$ である。

この2次式の軸は $$x={\displaystyle \frac{p}{2}}$$ である。さらに、$p>0$ のときは区間の両端 $p-1,1$ で $F_p(x)$ の値が等しく、$p<0$ のときも区間の両端 $-1,p+1$ で値が等しい。したがって共有点がちょうど1個になるのは、区間内で接する場合、すなわち $$F_p\left({\displaystyle \frac{p}{2}}\right)=0$$ のときである。

代入して整理すると、この条件は $G(p)=0$ と書ける。ただし $$G(p)={\displaystyle \frac{3}{4}}{p}^3-3X{p}^2+3X^{2}p-X^3+X+Y$$ である。よって、求める問題は、区間 $X-1\leqq p\leqq X+1$ 内に $G(p)=0$ の解がちょうど3個ある条件を求めることに帰着される。

微分すると $$G^{\mathrm{\prime }}(p)={\displaystyle \frac{3}{4}}(3p-2X)(p-2X)$$ である。したがって $X>0$ のとき、$$p={\displaystyle \frac{2X}{3}}$$ で極大、$p=2X$ で極小となる。3個の実数解をもつためには $$G\left({\displaystyle \frac{2X}{3}}\right)>0,G(2X)<0$$ が必要十分である。ここで $$G\left({\displaystyle \frac{2X}{3}}\right)=Y+X-{\displaystyle \frac{1}{9}}{X}^3,G(2X)=Y+X-X^3$$ だから $$Y>{\displaystyle \frac{1}{9}}{X}^3-X,Y<X^3-X$$ である。

さらに3つの解が許された区間 $[X-1,X+1]$ に入る必要がある。端点での値は $$G(X-1)=Y-{\displaystyle \frac{1}{4}}(X-1)(X+1)(X-3)$$ および $$G(X+1)=Y-{\displaystyle \frac{1}{4}}(X+3)(X+1)(X-1)$$ である。左端より右で最初の解を持つには $G(X-1)\leqq 0$ 右端より左で最後の解を持つには $G(X+1)\geqq 0$ であればよい。したがって $X>0$ の場合は $0<X<1$ かつ $$Y>{\displaystyle \frac{1}{9}}{X}^3-X,Y<X^3-X,$$ $$Y\geqq {\displaystyle \frac{1}{4}}(X+3)(X+1)(X-1),Y\leqq {\displaystyle \frac{1}{4}}(X-1)(X+1)(X-3)$$ である。

次に $X<0$ の場合は、変換 $(X,Y,p)\mapsto (-X,-Y,-p)$ により $X>0$ の場合と対称である。したがって求める範囲は、次の2領域の和集合である。$$\{\begin{array}{l}0<X<1,\\ {\displaystyle \frac{1}{9}}{X}^3-X<Y<X^3-X,\\ {\displaystyle \frac{1}{4}}(X+3)(X+1)(X-1)\leqq Y\leqq {\displaystyle \frac{1}{4}}(X-1)(X+1)(X-3),\end{array}$$または$$\{\begin{array}{l}-1<X<0,\\ X^3-X<Y<{\displaystyle \frac{1}{9}}{X}^3-X,\\ {\displaystyle \frac{1}{4}}(X+3)(X+1)(X-1)\leqq Y\leqq {\displaystyle \frac{1}{4}}(X-1)(X+1)(X-3)\mathrm{.}\end{array}$$端点条件から出る2本の境界は含むが、極大値・極小値が0となって解が重なる境界 $Y={\displaystyle \frac{1}{9}}{X}^3-X$、$Y=X^3-X$ は含まない。

共有点が1個の平行移動では2曲線が接する。元の曲線上の接点を $t$ とすると、移動後の対応点は $-t$ となり、移動量を直接表せる。点 $P$ を通る条件を $H_X(t)=Y$ とし、許される区間内の交点数を調べる。

$f(x)=x^3-x$ とする。元の曲線上の $x=t$ で平行移動後の曲線が接するとする。
両曲線の接線の傾きが等しいから$$3t^2-1=3(t-p{)}^2-1.$$同じ曲線を0だけ移す場合を除けば$$p=2t\mathrm{.}$$接点で縦座標も一致させると、縦方向の移動量は$$q=f(t)-f(-t)=2f(t)\mathrm{.}$$$P=(X,Y)$ が移動後の曲線上にあるための条件は$$Y=f(X-2t)+2f(t)=H_X(t)\mathrm{.}$$また $P$ がもとの定義区間に対応する条件は$${\displaystyle \frac{X-1}{2}}\leqq t\leqq {\displaystyle \frac{X+1}{2}}\mathrm{.}$$微分すると$$H_X^{\mathrm{\prime }}(t)=-6(3t-X)(t-X)\mathrm{.}$$$X>0$ の場合、3個の交点を持つには2つの停留点$$t={\displaystyle \frac{X}{3}},t=X$$が上の区間内に必要であり、これは $0<X<1$ と同値である。各点の値は$$H_X\left({\displaystyle \frac{X}{3}}\right)={\displaystyle \frac{X^3}{9}}-X,H_X(X)=X^3-X,$$$$H_X\left({\displaystyle \frac{X-1}{2}}\right)={\displaystyle \frac{1}{4}}(X-1)(X+1)(X-3),$$$$H_X\left({\displaystyle \frac{X+1}{2}}\right)={\displaystyle \frac{1}{4}}(X+3)(X+1)(X-1)\mathrm{.}$$増減をたどると、区間内で $H_X(t)=Y$ がちょうど3解を持つ条件は$$\{\begin{array}{l}0<X<1,\\ {\displaystyle \frac{1}{9}}{X}^3-X<Y<X^3-X,\\ {\displaystyle \frac{1}{4}}(X+3)(X+1)(X-1)\leqq Y\\ \text{hfill}\leqq {\displaystyle \frac{1}{4}}(X-1)(X+1)(X-3)\mathrm{.}\end{array}$$$X<0$ では原点対称性を用いて$$\{\begin{array}{l}-1<X<0,\\ X^3-X<Y<{\displaystyle \frac{1}{9}}{X}^3-X,\\ {\displaystyle \frac{1}{4}}(X+3)(X+1)(X-1)\leqq Y\\ \text{hfill}\leqq {\displaystyle \frac{1}{4}}(X-1)(X+1)(X-3)\mathrm{.}\end{array}$$を得る。停留値に対応する2境界は重解を生じるので含まず、
定義区間の端に対応する2境界は3個の異なる平行移動を保つので含む。