東大 1991年度文系数学第1問｜問題・解答・解説

方針

導関数で区間内の増減が変わる点をすべて拾い、両端の値と合わせて比較する。臨界点は二次方程式で2つ出るので、どちらも区間 $- 7 / 4 ≦ x ≦ 3$ に入ることを先に確認する。臨界点での関数値は、そのまま3乗を代入せず、 $3 x^{2} - 4 x - 3 = 0$ から $x^{2}$ 、 $x^{3}$ を低次化して計算する。最後は最大候補・最小候補を端点も含めて比較する。

解答

$f^{'} (x) = 3 x^{2} - 4 x - 3$ である。よって $f^{'} (x) = 0$ は $3 x^{2} - 4 x - 3 = 0$ すなわち $x = \frac{2 \pm \sqrt{13}}{3}$ を与える。ここで $- \frac{7}{4} < \frac{2 - \sqrt{13}}{3} < \frac{2 + \sqrt{13}}{3} < 3$ であるから、2つの臨界点はいずれも指定区間に含まれる。

端点での値は $f (- \frac{7}{4}) = - \frac{343}{64} - \frac{49}{8} + \frac{21}{4} + 4 = - \frac{143}{64}, f (3) = 27 - 18 - 9 + 4 = 4$ である。

次に臨界点での値を求める。 $3 x^{2} - 4 x - 3 = 0$ を満たす $x$ について $x^{2} = \frac{4 x + 3}{3}$ であり、さらに $x^{3} = x \cdot \frac{4 x + 3}{3} = \frac{4 x^{2} + 3 x}{3} = \frac{4 (4 x + 3) / 3 + 3 x}{3} = \frac{25 x + 12}{9}$ である。したがって $f (x) = x^{3} - 2 x^{2} - 3 x + 4 = \frac{25 x + 12}{9} - \frac{2 (4 x + 3)}{3} - 3 x + 4 = \frac{30 - 26 x}{9}$ となる。よって $f (\frac{2 - \sqrt{13}}{3}) = \frac{38 + 26 \sqrt{13}}{27}, f (\frac{2 + \sqrt{13}}{3}) = \frac{38 - 26 \sqrt{13}}{27}$ である。

候補値は $- \frac{143}{64}, 4, \frac{38 + 26 \sqrt{13}}{27}, \frac{38 - 26 \sqrt{13}}{27}$ である。最大については $\frac{38 + 26 \sqrt{13}}{27} > 4$ が成り立つ。最小については $\frac{38 - 26 \sqrt{13}}{27} - (- \frac{143}{64}) = \frac{6293 - 1664 \sqrt{13}}{1728} > 0$ である。実際、両辺正として二乗すれば $6293^{2} > 1664^{2} \cdot 13$ が確認できる。したがって左端の値の方が小さい。

以上より、最大値は $\frac{38 + 26 \sqrt{13}}{27}$ で、最小値は $- \frac{143}{64}$ である。

総評

微分による最大・最小の標準問題である。目安時間は8分。得点上の要点は、臨界点2つがともに区間内に入ること、端点も候補に含めること、臨界点の値を $3 x^{2} - 4 x - 3 = 0$ で低次化して計算することである。極小点の値だけを見て最小値と決めると、左端 $x = - 7 / 4$ の値を落とす。比較は小数に頼らず、差を作って正負を確認すると答案が締まる。

出典: 東京大学 1991年度第2次学力試験数学。問題文はHTML表示のために再入力・数式組版しています。

東京大学 1991年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第1問

方針

解答

総評

東京大学 1991年度前期日程第2次学力試験文系数学第1問