東京大学 1988年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第4問

まず $f^{\mathrm{\prime }}(x)=3x^2-2x$ である。点 $A(1,0)$ における接線の傾きは $f^{\mathrm{\prime }}(1)=1$ だから、接線は $y=x-1$ である。この直線と曲線 $y=f(x)$ の交点を求めると $x^3-x^2=x-1$ すなわち $x^3-x^2-x+1=0$ である。左辺は $$x^3-x^2-x+1=(x-1{)}^2(x+1)$$ と因数分解できるので、接点 $x=1$ 以外の交点は $x=-1$ である。したがって $B=(-1,f(-1))=(-1,-2)$ である。

2次関数 $g(x)=a{x}^2+bx+c$ と $f(x)$ は $A,B$ と、その間のもう1点で交わる。もう1点の $x$ 座標を $t$ とおくと $-1<t<1$ であり、$g(x)-f(x)$ は $x=-1,t,1$ を根にもつ3次式である。$g(x)-f(x)$ の最高次の係数は $-1$ だから $$g(x)-f(x)=-(x+1)(x-1)(x-t)=(1-x^2)(x-t)$$ である。よって $g(x)=f(x)+(1-x^2)(x-t)$ であり、整理すると $$g(x)=x^3-x^2+x-t-x^3+t{x}^2=(t-1)x^2+x-t$$ である。

したがって $$a=t-1,b=1,c=-t$$ である。

次に囲まれる面積を求める。$-1<x<1$ では $1-x^2>0$ なので$$\begin{array}{rl}{\displaystyle S(t)}& {\displaystyle =-{\int }_{-1}^t(1-x^2)(x-t)dx}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle +{\int }_t^1(1-x^2)(x-t)dx}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{-t^4+6t^2+3}{6}}\mathrm{.}}\end{array}$$微分すると$$S^{\mathrm{\prime }}(t)={\displaystyle \frac{2}{3}}t(3-t^2)\mathrm{.}$$$-1<t<1$ では $3-t^2>0$ だから、$S(t)$ は $t=0$ で最小になる。
このとき$$g(x)=-x^2+x,$$したがって$$(a,b,c)=(-1,1,0),S_{\min }={\displaystyle \frac{1}{2}}\mathrm{.}$$

交点の第3の横座標を $t$ と置くところまでは同じだが、面積を4次式へ展開しない。重み $1-x^2$ と点 $t$ の距離の積分と見て、微分の符号を対称性から決める。

接線と曲線の再交点は $B=(-1,-2)$ である。
第3の交点の $x$ 座標を $t$ とすると$$-1<t<1$$であり、最高次係数を比べて$$g(x)-f(x)=(1-x^2)(x-t)\mathrm{.}$$よって$$g(x)=(t-1)x^2+x-t\mathrm{.}$$囲まれる面積は$$S(t)={\int }_{-1}^1(1-x^2)\mathrm{\mid }x-t\mathrm{\mid }dx\mathrm{.}$$$t$ を少し動かしたとき、$x<t$ の部分では距離が増え、
$x>t$ の部分では距離が減るので$$\begin{array}{rl}{\displaystyle S^{\mathrm{\prime }}(t)}& {\displaystyle ={\int }_{-1}^t(1-x^2)dx-{\int }_t^1(1-x^2)dx}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =2{\int }_0^t(1-x^2)dx}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =2t-{\displaystyle \frac{2}{3}}{t}^3\mathrm{.}}\end{array}$$$-1<t<1$ では $S^{\mathrm{\prime }}(t)$ の符号は $t$ の符号と一致する。
したがって最小は $t=0$ のときである。

このとき$$(a,b,c)=(-1,1,0)\mathrm{.}$$面積は対称性から$$\begin{array}{rl}{\displaystyle S(0)}& {\displaystyle =2{\int }_0^{1}x(1-x^2)dx}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{1}{2}}\mathrm{.}}\end{array}$$