東京大学 1992年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第3問

4点 $P,Q,R,S$ が同一球面上にあるとする。$P(0,0,0)$ と $Q(a,0,0)$ から，球の中心の $x$ 座標は $a\mathrm{/}2$ である。同様に，$P$ と $R(0,1,0)$ から $y$ 座標は $1\mathrm{/}2$，$R$ と $S(0,1,b)$ から $z$ 座標は $b\mathrm{/}2$ である。よって中心は $(\frac{a}{2},\frac{1}{2},\frac{b}{2})$ である。半径が1であるから，中心から $P$ までの距離について $$\frac{a^2+1+b^2}{4}=1$$ が成り立つ。したがって $a^2+b^2=3$ である。

四面体 $PQRS$ の体積は，底面 $PQR$ の面積が $a\mathrm{/}2$，高さが $b$ であるから $$V=\frac{1}{3}\cdot \frac{a}{2}\cdot b=\frac{ab}{6}$$ である。

4つの面の面積を求める。$PQR$ の面積は $a\mathrm{/}2$，$PRS$ の面積は $b\mathrm{/}2$ である。また$$\mathrm{△}PQS\text{ の面積}=\frac{1}{2}a\sqrt{1+b^2},\mathrm{△}QRS\text{ の面積}=\frac{1}{2}b\sqrt{1+a^2}$$である。よって表面積を $T$ とすると $$T=\frac{1}{2}\{a+b+a\sqrt{1+b^2}+b\sqrt{1+a^2}\}$$ である。

内接球の半径を $r$ とすると，四面体の体積は各面を底面とする4つの三角錐の体積の和だから $V=\frac{1}{3}rT$ である。したがって $$\frac{ab}{6}=\frac{r}{6}\{a+b+a\sqrt{1+b^2}+b\sqrt{1+a^2}\}$$ であり，$$\frac{1}{r}=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\sqrt{1+\frac{1}{a^2}}+\sqrt{1+\frac{1}{b^2}}$$ を得る。

ここで $$F=\sqrt{1+\frac{1}{a^2}}+\sqrt{1+\frac{1}{b^2}}$$ とおく。示すべき1つ目の不等式は $F^2\geqq 20\mathrm{/}3$ である。$t=ab$ とおくと，$a^2+b^2=3$ より $t\leqq \frac{3}{2}$ である。また $$\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}=\frac{a^2+b^2}{a^2{b}^2}=\frac{3}{t^2}$$ であり，$$(1+\frac{1}{a^2})(1+\frac{1}{b^2})=1+\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{a^2{b}^2}=1+\frac{4}{t^2}$$である。よって $$F^2=2+\frac{3}{t^2}+2\sqrt{1+\frac{4}{t^2}}$$ である。$t\leqq 3\mathrm{/}2$ から $$\frac{3}{t^2}\geqq \frac{4}{3},\sqrt{1+\frac{4}{t^2}}\geqq \frac{5}{3}$$ なので $$F^2\geqq 2+\frac{4}{3}+2\cdot \frac{5}{3}=\frac{20}{3}$$ である。すなわち$${\displaystyle {(\frac{1}{r}-\frac{1}{a}-\frac{1}{b})}^2\geqq \frac{20}{3}}$$が成り立つ。

次に2つ目を示す。$a,b>0$ であるから $${(\frac{1}{a}+\frac{1}{b})}^2=\frac{3}{t^2}+\frac{2}{t}$$ である。$0<t\leqq 3\mathrm{/}2$ より右辺は $$\frac{3}{t^2}+\frac{2}{t}\geqq \frac{4}{3}+\frac{4}{3}=\frac{8}{3}$$ を満たす。したがって $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\geqq 2\sqrt{\frac{2}{3}}$ である。また1つ目で示した評価から $F\geqq 2\sqrt{\frac{5}{3}}$ である。よって $$\frac{1}{r}=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+F\geqq 2\sqrt{\frac{2}{3}}+2\sqrt{\frac{5}{3}}$$ であり，$${\displaystyle \frac{1}{r}\geqq 2\sqrt{\frac{2}{3}}+2\sqrt{\frac{5}{3}}}$$ が示された。