東京大学 1993年度 後期日程 第2次学力試験理系（後期）数学 第2問

(1) 与えられた方向に垂直な単位ベクトルを $\vec{u}$ とし、平行な直線を$$\vec{u}\cdot \vec{x}=h$$と表す。点 $A,B,C$ の位置ベクトルを $\vec{a},\vec{b},\vec{c}$、重心を $$\vec{g}=(\vec{a}+\vec{b}+\vec{c})\mathrm{/}3$$ とすると$$f(l)=\sum _{\vec{v}=\vec{a},\vec{b},\vec{c}}(\vec{u}\cdot \vec{v}-h{)}^2\mathrm{.}$$$m=\vec{u}\cdot \vec{g}$ と置いて平方を完成すると$$f(l)=\sum (\vec{u}\cdot \vec{v}-m{)}^2+3(h-m{)}^2\mathrm{.}$$よって最小となるのは $h=m$、すなわち直線が重心を通るときである。

(2) 重心を原点として $$A=(r,0),B=(u,v),C=(-r-u,-v)$$ と置く。3点は相異なり三角形を作るので、座標軸を選べば $r>0,v\mathrm{\ne }0$ としてよい。

重心を通り単位法線が $(\cos \theta ,\sin \theta )$ の直線に対する最小値は$$F(\theta )=\sum _{X=A,B,C}(x_X\cos \theta +y_X\sin \theta {)}^2\mathrm{.}$$これは $$F(\theta )=K+L\cos 2\theta +M\sin 2\theta$$ の形である。定数でなければ、$0\leqq \theta <\pi$ で最小にする方向は1つしかない。異なる3本が最小にするなら $F$ は定数であり、$$\sum x_X^2=\sum y_X^2,\sum x_X{y}_X=0.$$後式は $v(r+2u)=0$ だから $u=-r\mathrm{/}2$。前式は$${\displaystyle \frac{3r^2}{2}}=2v^2$$だから $v^2=3r^2\mathrm{/}4$ である。従って$$A=(r,0),B=(-{\displaystyle \frac{r}{2}},\pm {\displaystyle \frac{\sqrt{3}r}{2}}),C=(-{\displaystyle \frac{r}{2}},\mp {\displaystyle \frac{\sqrt{3}r}{2}}),$$となり、3辺の長さは等しい。よって三角形 $ABC$ は正三角形である。

(1) は平行移動量だけを未知数として3つの符号付き距離の分散公式を使う。
(2)は重心を原点に移し、方向 $\theta$ に対する最小値が
$A+B\cos 2\theta +C\sin 2\theta$ となることを利用する。3方向で
最小なら方向依存項が消えるので、底辺を水平に置いて正三角形を導く。

(1)

与えられた方向に垂直な単位ベクトルを
$\mathit{n}$ とし、平行な直線を$$\mathit{n}\cdot \mathit{x}=h$$と表す。3点の位置ベクトルを
$\mathit{a},\mathit{b},\mathit{c}$、重心を$$\mathit{g}=(\mathit{a}+\mathit{b}+\mathit{c})\mathrm{/}3$$ とする。$$m=\mathit{n}\cdot \mathit{g}$$ と置けば、分散公式により$$\begin{array}{rl}{\displaystyle f(l)}& {\displaystyle =(\mathit{n}\cdot \mathit{a}-h{)}^2+(\mathit{n}\cdot \mathit{b}-h{)}^2+(\mathit{n}\cdot \mathit{c}-h{)}^2}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =(\mathit{n}\cdot \mathit{a}-m{)}^2+(\mathit{n}\cdot \mathit{b}-m{)}^2+(\mathit{n}\cdot \mathit{c}-m{)}^2+3(h-m{)}^2\mathrm{.}}\end{array}$$最後の項だけが直線の平行移動で変わるから、唯一の最小は
$h=m$ である。これは直線が重心を通ることを意味する。

(2)

(1) により、各方向で候補となる直線は重心を通る1本だけである。
重心を原点とし、各点を $(x_i,y_i)$ とする。法線の偏角を
$\theta$ とすると$$F(\theta )=\sum _{i=1}^3(x_i\cos \theta +y_i\sin \theta {)}^2=A+B\cos 2\theta +C\sin 2\theta$$と書ける。$B,C$ の少なくとも一方が0でないなら、この関数が
最小になる方向は $0\leqq \theta <\pi$ に1つしかない。異なる3本が
全直線中の最小値を取るなら$$B=C=0,$$すなわち$$\sum x_i^2=\sum y_i^2,\sum x_i{y}_i=0$$でなければならない。

$AB$ を水平に置き$$A=(-d,0),B=(d,0),C=(s,t)(d>0,t\mathrm{\ne }0)$$とする。重心を引いた3点に上の2条件を適用すると$$\sum x_i{y}_i={\displaystyle \frac{2st}{3}}=0$$から $s=0$ である。さらに$$\sum x_i^2=2d^2,\sum y_i^2={\displaystyle \frac{2t^2}{3}}$$だから $t^2=3d^2$ となる。したがって$$A{B}^2=4d^2,A{C}^2=B{C}^2=d^2+t^2=4d^2\mathrm{.}$$よって三角形 $ABC$ は正三角形である。

正三角形では、重心を通るすべての方向で同じ最小値を取る。