東京大学 1993年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第1問

すべての面が合同である四面体では，向かい合う辺の長さがそれぞれ等しい。そこで，合同な四面体として $(x,y,z),(x,-y,-z),(-x,y,-z),(-x,-y,z)$ を頂点にもつものを考える。この四面体の各面は，3辺の長さが $2\sqrt{y^2+z^2},2\sqrt{x^2+z^2},2\sqrt{x^2+y^2}$ で同じになるので，問題の四面体と同じ型である。

3つの辺の長さを $$2\sqrt{y^2+z^2}=2l-1,$$ $$2\sqrt{x^2+y^2}=2l,$$ $$2\sqrt{x^2+z^2}=2l+1$$ と対応させる。両辺を2乗して $$y^2+z^2={\displaystyle \frac{(2l-1{)}^2}{4}},$$ $x^2+y^2=l^2,$ $$x^2+z^2={\displaystyle \frac{(2l+1{)}^2}{4}}$$ を得る。これらを足し引きすると $$x^2={\displaystyle \frac{(x^2+y^2)+(x^2+z^2)-(y^2+z^2)}{2}}={\displaystyle \frac{l(l+2)}{2}},$$ $$y^2={\displaystyle \frac{(x^2+y^2)+(y^2+z^2)-(x^2+z^2)}{2}}={\displaystyle \frac{l(l-2)}{2}},$$ $$z^2={\displaystyle \frac{(x^2+z^2)+(y^2+z^2)-(x^2+y^2)}{2}}={\displaystyle \frac{2l^2+1}{4}}$$ である。$l>2$ なので $x,y,z$ は正に取れる。

この対称配置の体積を求める。頂点 $(x,y,z)$ から他の3頂点へ向かうベクトルを $(0,-2y,-2z),(-2x,0,-2z),(-2x,-2y,0)$ とすると，これらで作る平行六面体の体積は $16xyz$ である。したがって四面体の体積は $$V(l)={\displaystyle \frac{16xyz}{6}}={\displaystyle \frac{8}{3}}xyz$$ である。

上で求めた値を代入すると$$V(l)={\displaystyle \frac{8}{3}}\sqrt{{\displaystyle \frac{l(l+2)}{2}}}\sqrt{{\displaystyle \frac{l(l-2)}{2}}}\sqrt{{\displaystyle \frac{2l^2+1}{4}}}$$であるから$${\displaystyle \frac{V(l)}{\sqrt{l-2}}}={\displaystyle \frac{8}{3}}\sqrt{{\displaystyle \frac{l(l+2)}{2}}}\sqrt{{\displaystyle \frac{l}{2}}}\sqrt{{\displaystyle \frac{2l^2+1}{4}}}$$となる。よって $l\to 2$ とすれば$$\underset{l\to 2}{\lim }{\displaystyle \frac{V(l)}{\sqrt{l-2}}}={\displaystyle \frac{8}{3}}\cdot 2\cdot 1\cdot {\displaystyle \frac{3}{2}}=8$$である。

3種類の辺長を $p,q,r$ とし、1頂点から出る3本の辺ベクトルの
内積を余弦定理で決める。四面体の体積公式を整理して得られる
等面四面体の対称な公式へ代入し、$\sqrt{l-2}$ の因子を直接抜く。

すべての面が合同なら、向かい合う辺はそれぞれ等しい。3種類の
辺長を$$p=2l-1,q=2l,r=2l+1$$とする。1頂点から出る3本の辺ベクトルを考え、余弦定理でその
内積を表して体積を計算すると、等面四面体について$$72V^2=(p^2+q^2-r^2)(p^2+r^2-q^2)(q^2+r^2-p^2)$$を得る。この式は、3本の辺ベクトルが作る平行六面体の体積が
四面体の体積の6倍であることから、成分計算だけで導ける。

今回は$$\begin{array}{rl}{\displaystyle p^2+q^2-r^2}& {\displaystyle =4l(l-2),}\\ {\displaystyle p^2+r^2-q^2}& {\displaystyle =2(2l^2+1),}\\ {\displaystyle q^2+r^2-p^2}& {\displaystyle =4l(l+2)\mathrm{.}}\end{array}$$したがって $V>0$ に注意すると$$V={\displaystyle \frac{2}{3}}l\sqrt{(l-2)(l+2)(2l^2+1)}\mathrm{.}$$よって$$\begin{array}{rl}{\displaystyle \underset{l\to 2}{\lim }{\displaystyle \frac{V(l)}{\sqrt{l-2}}}}& {\displaystyle =\underset{l\to 2}{\lim }{\displaystyle \frac{2}{3}}l\sqrt{(l+2)(2l^2+1)}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{4}{3}}\sqrt{4\cdot 9}=8.}\end{array}$$向かい合う辺が同じ記号になることが、公式の対称性に対応している。