東京大学 1992年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第4問

柱面 $A$ 上の点を $$y=\cos \theta ,z=\sin \theta$$ と表す。点 $(0,1,0)$ を通り $x$ 軸と平行な直線に沿って切り開くので，展開図では $0\leqq \theta \leqq 2\pi$ を縦方向の座標とし，横方向の座標を $x$ とすればよい。上下の辺 $\theta =0$，$\theta =2\pi$ は，もとの切り口の両側に対応する。

次に柱面 $B$ との交線を求める。$z=\sin \theta$ を $B$ の方程式へ代入すると $$x^2-\sqrt{3}x\sin \theta +{\sin }^2\theta =\frac{1}{4}$$ である。これを $x$ について解くと $$x=\frac{\sqrt{3}\sin \theta +\cos \theta }{2}$$ または $$x=\frac{\sqrt{3}\sin \theta -\cos \theta }{2}$$ である。すなわち$$x=\sin (\theta +\frac{\pi }{6}),x=\sin (\theta -\frac{\pi }{6})$$である。$\cos \theta <0$ のところでは2つの根の大小は入れ替わるが，境界となる2曲線はこの2本である。

したがって展開図は，横軸 $x$，縦軸 $\theta$ の無限に長い帯 $0\leqq \theta \leqq 2\pi$ から，2曲線$$x=\sin (\theta +\frac{\pi }{6}),x=\sin (\theta -\frac{\pi }{6})$$にはさまれる部分を切り抜いた図形である。2曲線は $\theta =\pi \mathrm{/}2$，$3\pi \mathrm{/}2$ で接し，その前後で左右が入れ替わる。実際に描くと，幅 $2\pi$ の帯の中に，位相が $\pi \mathrm{/}3$ だけずれた2本の正弦曲線を描き，その間を空白として残りを $C$ の展開図とすればよい。