東京大学 1995年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第2問

(1)
${\vec{v}}_{k+4}=-{\vec{v}}_k$ であるから$${\vec{v}}_1+{\vec{v}}_3+{\vec{v}}_5+{\vec{v}}_7=\vec{0},{\vec{v}}_2+{\vec{v}}_4+{\vec{v}}_6+{\vec{v}}_8=\vec{0}\mathrm{.}$$よって $$\overrightarrow{P_0{P}_8}=\vec{0}$$ となり、$P_8=P_0$ である。

(2)
$h=1\mathrm{/}\sqrt{2}$ とおくと、各頂点は$$\begin{array}{cccc}{P}_0& (0,0)& P_1& (ah,ah)\\ P_2& (ah,ah+b)& P_3& (0,b+2ah)\\ P_4& (-b,b+2ah)& P_5& (-b-ah,b+ah)\\ P_6& (-b-ah,ah)& P_7& (-b,0)\end{array}$$となる。多角形の面積公式$$2S=\sum _{i=0}^7(x_i{y}_{i+1}-y_i{x}_{i+1})$$に代入して整理すると$$2S=2a^2+2b^2+4\sqrt{2}ab\mathrm{.}$$したがって$$S=a^2+b^2+2\sqrt{2}ab$$である。

(3)
$S=7$ より$$a^2+b^2+2\sqrt{2}ab=7.$$また $P_4=(-b,b+\sqrt{2}a)$ なので$$P_0{P}_4^2=b^2+(b+\sqrt{2}a{)}^2=10,$$すなわち$$a^2+b^2+\sqrt{2}ab=5.$$2式の差から $\sqrt{2}ab=2$、さらに $a^2+b^2=3$ を得る。
よって$$(a+b{)}^2=3+2\sqrt{2}=(1+\sqrt{2}{)}^2,(a-b{)}^2=3-2\sqrt{2}=(\sqrt{2}-1{)}^2\mathrm{.}$$$a,b>0$ より$$(a,b)=(1,\sqrt{2}),(\sqrt{2},1)$$である。

辺の向きと8角形

頂点座標をすべて書かず、閉多角形の面積を辺ベクトル同士の行列式の和で計算する。
奇数方向同士、偶数方向同士、異なる種類の組に分けて係数を集計する。

(1)
辺ベクトルを順に ${\mathit{e}}_1,\dots ,{\mathit{e}}_8$ とする。
奇数番目の4本の単位方向ベクトルの和と、偶数番目の4本の和はそれぞれ $\vec{0}$ なので$$\sum _{i=1}^8{\mathit{e}}_i=\vec{0}\mathrm{.}$$よって $P_8=P_0$ である。

(2)
原点から出発する閉多角形について$$2S=\sum _{1\leqq i<j\leqq 8}\det ({\mathit{e}}_i,{\mathit{e}}_j)$$が成り立つ。実際、$$P_j={\mathit{e}}_1+\cdots +{\mathit{e}}_j$$ を
面積公式へ代入すれば得られる。方向角の差を使って組を集計すると$$\begin{array}{cc}\text{辺の組}& {\displaystyle \sum _{i<j}\det ({\mathit{e}}_i,{\mathit{e}}_j)}\\ a\text{ の辺同士}& 2a^2\\ b\text{ の辺同士}& 2b^2\\ a\text{ の辺と }b\text{ の辺}& 4\sqrt{2}ab\end{array}$$となる。したがって$$S=a^2+b^2+2\sqrt{2}ab\mathrm{.}$$(3)
最初の4本の辺を加えると$$\overrightarrow{P_0{P}_4}=(-b,b+\sqrt{2}a)\mathrm{.}$$よって面積条件と長さの条件は$$a^2+b^2+2\sqrt{2}ab=7,2a^2+2b^2+2\sqrt{2}ab=10.$$ここから $\sqrt{2}ab=2$，$a^2+b^2=3$ を得る。
$a,b$ は正なので、和と差を復元して$$\{a,b\}=\{1,\sqrt{2}\}\mathrm{.}$$したがって$$(a,b)=(1,\sqrt{2}),(\sqrt{2},1)$$である。