東京大学 1993年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第2問

$b_n$ を $a_n$ を2で割った余りとする。漸化式を2で割ると $$b_{n+2}\equiv b_{n+1}+b_n(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}2)$$ である。また $b_1\equiv 1,b_2\equiv 1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}2)$ であるから $b_3\equiv 1+1\equiv 0(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}2)$ となる。さらに $$b_4\equiv b_3+b_2\equiv 1,b_5\equiv b_4+b_3\equiv 1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}2)$$ で，$(b_4,b_5)=(1,1)$ となり，初めの組 $(b_1,b_2)$ に戻る。

したがって余りは $1,1,0,1,1,0,\cdots$ と周期3で繰り返す。よって $a_n$ が偶数となるのは，余りが0になる $n\equiv 0(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}3)$ のときである。すなわち求める $n$ は3の倍数である。

余りを順に並べる代わりに、漸化式をもう1段進めて
$a_{n+3}\equiv a_n(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}2)$ を直接示す。これで周期3がすべての
$n$ に対して成り立つことが一度に分かる。

与えられた漸化式を2で考えると$$a_{n+2}\equiv a_{n+1}+a_n(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}2)$$である。したがって$$\begin{array}{rl}{\displaystyle a_{n+3}}& {\displaystyle \equiv a_{n+2}+a_{n+1}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle \equiv (a_{n+1}+a_n)+a_{n+1}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle \equiv a_n(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}2)}\end{array}$$となる。よって偶奇は3項ごとに必ず同じになる。

初めの3項については$$a_1\equiv 1,a_2\equiv 1,a_3\equiv a_2+a_1\equiv 0(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}2)$$である。ゆえに$$a_n\text{ が偶数}⟺n\equiv 0(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}3)$$であり、求める $n$ は3の倍数である。