東京大学 1993年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第3問

直線 $AP$ 上の点は，実数 $s$ を用いて $(0,0,1)+s(x,y,z-1)$ と表される。$Q$ はこの直線と $xy$ 平面の交点なので，$z$ 座標が0になればよい。したがって $1+s(z-1)=0$ より $$s={\displaystyle \frac{1}{1-z}}$$ である。$P\mathrm{\ne }A$ なので $z\mathrm{\ne }1$ であり，$$u={\displaystyle \frac{x}{1-z}},v={\displaystyle \frac{y}{1-z}}$$ を得る。

逆に $Q=(u,v,0)$ から $P$ を求める。$r^2=u^2+v^2$ とおく。直線 $AQ$ 上の点は $(\lambda u,\lambda v,1-\lambda )$ であり，これが球面上にある条件は $${\lambda }^2{r}^2+(1-\lambda {)}^2=1$$ である。整理すると $$\lambda \{(r^2+1)\lambda -2\}=0$$ となる。$\lambda =0$ は点 $A$ なので，$P$ に対応するのは $$\lambda ={\displaystyle \frac{2}{r^2+1}}$$ である。したがって$$x={\displaystyle \frac{2u}{r^2+1}},y={\displaystyle \frac{2v}{r^2+1}},z={\displaystyle \frac{r^2-1}{r^2+1}}$$である。

まず，条件を満たす $P$ が存在するには$$1=x^2+y^2+z^2\geqq {\displaystyle \frac{1}{k^2}}+{\displaystyle \frac{1}{k^2}}+{\displaystyle \frac{1}{k^2}}={\displaystyle \frac{3}{k^2}}$$が必要である。よって $0<k<\sqrt{3}$ のときは求める範囲は空である。

以下 $k\geqq \sqrt{3}$ とする。このとき $k>1$ である。$x\geqq 1\mathrm{/}k$ は $${\displaystyle \frac{2u}{r^2+1}}\geqq {\displaystyle \frac{1}{k}}$$ と同値であり，両辺に正の数 $k(r^2+1)$ を掛けて $2ku\geqq u^2+v^2+1$ を得る。平方完成すると $(u-k{)}^2+v^2\leqq k^2-1$ である。同様に $y\geqq 1\mathrm{/}k$ は $u^2+(v-k{)}^2\leqq k^2-1$ である。

また $z\geqq 1\mathrm{/}k$ は $${\displaystyle \frac{r^2-1}{r^2+1}}\geqq {\displaystyle \frac{1}{k}}$$ である。$k>1$ だから $k(r^2-1)\geqq r^2+1$ すなわち $$r^2\geqq {\displaystyle \frac{k+1}{k-1}}$$ を得る。

したがって $k\geqq \sqrt{3}$ のとき，点 $Q$ の動く範囲は $(u-k{)}^2+v^2\leqq k^2-1,$ $u^2+(v-k{)}^2\leqq k^2-1,$ $$u^2+v^2\geqq {\displaystyle \frac{k+1}{k-1}}$$ をすべて満たす部分である。図では，中心 $(k,0)$，$(0,k)$，半径 $\sqrt{k^2-1}$ の2つの円の共通内部から，原点中心で半径 $\sqrt{(k+1)\mathrm{/}(k-1)}$ の円の内部を除いた部分を塗る。$k=\sqrt{3}$ ではこの部分は1点だけになり，$k>\sqrt{3}$ では面積をもつ領域になる。

射影の基本恒等式
$u^2+v^2=(1+z)\mathrm{/}(1-z)$ を先に作る。そこから $z$、続いて
$x,y$ を $u,v$ で復元し、3つの境界面がどの円へ移るかを
個別に確認する。最後に代表点で円の内外を判定する。

$Q=(u,v,0)$ とし、${\rho }^2=u^2+v^2$ と置く。直線 $AP$ の
座標から$$u={\displaystyle \frac{x}{1-z}},v={\displaystyle \frac{y}{1-z}}$$である。球面の式を使うと$${\rho }^2={\displaystyle \frac{x^2+y^2}{(1-z{)}^2}}={\displaystyle \frac{1-z^2}{(1-z{)}^2}}={\displaystyle \frac{1+z}{1-z}}$$となる。したがって$$z={\displaystyle \frac{{\rho }^2-1}{{\rho }^2+1}},x={\displaystyle \frac{2u}{{\rho }^2+1}},y={\displaystyle \frac{2v}{{\rho }^2+1}}\mathrm{.}$$条件を満たす $P$ が存在するためには$$1=x^2+y^2+z^2\geqq {\displaystyle \frac{3}{k^2}}$$が必要である。逆に $k\geqq \sqrt{3}$ なら$$P=(1\mathrm{/}\sqrt{3},1\mathrm{/}\sqrt{3},1\mathrm{/}\sqrt{3})$$ などから非空である。
よって $0<k<\sqrt{3}$ では求める範囲は空集合である。

以下 $k\geqq \sqrt{3}$ とする。上の復元式により$$x\geqq {\displaystyle \frac{1}{k}}⟺(u-k{)}^2+v^2\leqq k^2-1,$$$$y\geqq {\displaystyle \frac{1}{k}}⟺u^2+(v-k{)}^2\leqq k^2-1.$$また$$z\geqq {\displaystyle \frac{1}{k}}⟺u^2+v^2\geqq {\displaystyle \frac{k+1}{k-1}}\mathrm{.}$$どの変形も分母は正である。ゆえに求める範囲は、中心
$(k,0)$、$(0,k)$、半径 $\sqrt{k^2-1}$ の2円の共通内部で、
さらに原点中心、半径
$\sqrt{(k+1)\mathrm{/}(k-1)}$ の円の外部にある部分である。すべての
境界を含む。$k=\sqrt{3}$ では1点だけになる。

図は $k=2$ の模式図であり、青い2円の共通内部から橙色の円内を
除いた部分を示す。