東京大学 1988年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第4問

通常の傾きは $dy\mathrm{/}dx$ である。したがって傾きが $m$ の直線上を、$y$ 座標が1だけ増えるとき、$x$ 座標の増加量は ${\displaystyle \frac{1}{m}}$ である。

最初、$0\leqq y\leqq 1$ での傾きは $a$ である。$y$ が整数を通過するたびに傾きが $s$ 倍されるので、一般に $n\leqq y\leqq n+1$ での傾きは $a{s}^n$ である。よってこの帯を通過する間の $x$ 座標の増加量は ${\displaystyle \frac{1}{a{s}^n}}$ である。

したがって、点 $P$ が高さ $y=N$ に達したときの $x$ 座標を $x_N$ とすると $$x_N={\displaystyle \frac{1}{a}}(1+{\displaystyle \frac{1}{s}}+{\displaystyle \frac{1}{s^2}}+\cdots +{\displaystyle \frac{1}{s^{N-1}}})$$ である。

まず $0<s\leqq 1$ の場合を考える。このとき $1\mathrm{/}s\geqq 1$ であるから、和 $1+{\displaystyle \frac{1}{s}}+\cdots +{\displaystyle \frac{1}{s^{N-1}}}$ は $N\to \mathrm{\infty }$ で限りなく大きくなる。したがって $x_N$ も限りなく大きくなり、任意の $b>0$ に対して、折れ線は直線 $x=b$ を横切る。

次に $s>1$ の場合を考える。このとき等比級数の和は上限をもち、$$\underset{N\to \mathrm{\infty }}{\lim }{x}_N={\displaystyle \frac{1}{a}}\cdot {\displaystyle \frac{1}{1-1\mathrm{/}s}}={\displaystyle \frac{s}{a(s-1)}}$$ である。折れ線の $x$ 座標は増加しながらこの値に近づく。したがって、直線 $x=b$ を横切るための必要十分条件は $$b<{\displaystyle \frac{s}{a(s-1)}}$$ である。等号の場合は有限の高さでは到達せず、近づくだけなので横切らない。

以上より条件は$$0<s\leqq 1\text{または}s>1\text{ かつ }b<{\displaystyle \frac{s}{a(s-1)}}$$である。

高さ $n$ から先へ進める横距離を考える。$s>1$ では残り距離が等比的に縮んで有限値になり、$s\leqq 1$ では縮まらない。この全移動可能距離と $b$ を比較する。

高さ $n$ から $n+1$ までの傾きは $a{s}^n$ だから、その間の横移動は$$\mathrm{\Delta }{x}_n={\displaystyle \frac{1}{a{s}^n}}\mathrm{.}$$$0<s\leqq 1$ なら$$\mathrm{\Delta }{x}_n\geqq {\displaystyle \frac{1}{a}}$$であり、横方向の総移動距離は限りなく大きくなる。したがって任意の $b>0$ に対して直線 $x=b$ を横切る。

$s>1$ とする。高さ $n$ から先に進める横距離 $R_n$ は$$\begin{array}{rl}{\displaystyle R_n}& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{1}{a{s}^n}}+{\displaystyle \frac{1}{a{s}^{n+1}}}+\cdots }\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{s^{1-n}}{a(s-1)}}\mathrm{.}}\end{array}$$特に原点から先へ進める全横距離の上限は$$R_0={\displaystyle \frac{s}{a(s-1)}}\mathrm{.}$$折れ線の $x$ 座標は連続かつ単調増加で、この値そのものには有限の高さで到達しない。
よって $s>1$ では$$b<{\displaystyle \frac{s}{a(s-1)}}$$が必要十分である。

以上をまとめると$$0<s\leqq 1\text{または}s>1\text{ かつ }b<{\displaystyle \frac{s}{a(s-1)}}\mathrm{.}$$