東京大学 1993年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第2問

(1) $a_n$ を2で割った余りを考える。$3\equiv 1$，$-7\equiv 1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}2)$ であるから，漸化式より $$a_{n+2}\equiv a_{n+1}+a_n(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}2)$$ である。初期値は $a_1\equiv 1,a_2\equiv 1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}2)$ であるから $a_3\equiv 0,a_4\equiv 1,a_5\equiv 1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}2)$ となる。ここで隣り合う2項の余りが $(a_4,a_5)\equiv (1,1)$ となり，初期の組に戻る。したがって余りは $1,1,0,1,1,0,\cdots$ と周期3で繰り返す。

よって $a_n\text{ が偶数}⟺n\equiv 0(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}3)$ である。

(2)

10の倍数であるためには，2の倍数かつ5の倍数であることが必要十分である。(1)より，2の倍数である条件は $n\equiv 0(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}3)$ である。

次に5で割った余りを調べる。漸化式は $a_{n+2}\equiv 3a_{n+1}-2a_n(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}5)$ である。初めから計算すると$$a_1\equiv 1,a_2\equiv 3,a_3\equiv 3\cdot 3-2\cdot 1\equiv 2(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}5),$$ $a_4\equiv 3\cdot 2-2\cdot 3\equiv 0(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}5)$ である。さらに$$a_5\equiv 3\cdot 0-2\cdot 2\equiv 1,a_6\equiv 3\cdot 1-2\cdot 0\equiv 3(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}5)$$となり，隣り合う2項の余りが初期の組 $(1,3)$ に戻る。したがって5で割った余りは $1,3,2,0,1,3,2,0,\cdots$ と周期4で繰り返し，$5\mid a_n⟺n\equiv 0(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}4)$ である。

以上より $a_n$ が10の倍数であるための必要十分条件は $n\equiv 0(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}3),n\equiv 0(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}4)$ を同時に満たすことである。$3$ と $4$ は互いに素なので，これは $n\equiv 0(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}12)$ と同値である。したがって $a_n\text{ が10の倍数}⟺n\text{ が12の倍数}$ である。

(1) と(2)を別々の法で処理せず、最初から10で割った余りの組
$(a_n,a_{n+1})$ を追う。12項で初期の組へ戻ることを示せば、
その1周期から偶数となる位置と10の倍数となる位置を同時に読める。

(1)

漸化式を10で考える。初期値から順に計算すると$$\begin{array}{crrrrrrrrrrrr}n& 1& 2& 3& 4& 5& 6& 7& 8& 9& 10& 11& 12\\ a_n<mrow><mi\; mathvariant="normal">m</mi><mi\; mathvariant="normal">o</mi><mi\; mathvariant="normal">d</mi></mrow>10& 1& 3& 2& 5& 1& 8& 7& 5& 6& 3& 7& 0\end{array}$$となる。さらに$$a_{13}\equiv 1,a_{14}\equiv 3(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}10)$$で、隣り合う余りの組が初期の $(1,3)$ に戻る。次の組は直前の
組だけで一意に定まるので、この12項が以後繰り返される。

1周期のうち偶数であるのは $n=3,6,9,12$ の位置である。
したがって$$a_n\text{ が偶数}⟺n\equiv 0(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}3)\mathrm{.}$$(2)

同じ表で余りが0になるのは $n=12$ の位置だけである。周期性から$$a_n\equiv 0(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}10)⟺n\equiv 0(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}12)\mathrm{.}$$よって $a_n$ が10の倍数となるための必要十分条件は、$n$ が
12の倍数であることである。