東京大学 1993年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第3問

4つの端点を $$L_{-}=(-5,-5),L_{+}=(-5,5),M_{-}=(5,-5),M_{+}=(5,5)$$ とおく。これらは障害物 $l,m$ には含まれないので，経路は端点を通ってよい。また $$P{L}_{-}=Q{M}_{+}=2\sqrt{5},P{L}_{+}=Q{M}_{-}=4\sqrt{5}$$ である。

最短経路が途中で曲がるとき，曲がる点は端点でよい。端点以外で曲がっている部分があれば，その前後を直線で結び直すことで短くできるからである。したがって，直線で見通せる場合と，端点を1つまたは2つ通る場合を比較すればよい。

まず，$P$ と $R$，$Q$ と $R$ がともに直線で見通せる部分では $$d(P,R)=PR,d(Q,R)=QR$$ である。したがって等距離条件は $PR=QR$ であり，$P(-9,-3)$ と $Q(9,3)$ の垂直二等分線 $y=-3x$ を得る。この直線上で両方の直線経路が障害物を横切らないのは $$x\leqq -3,x\geqq 3$$ の部分である。

次に上側の端点を回る部分を考える。この部分では $$d(P,R)=P{L}_{+}+L_{+}R=4\sqrt{5}+L_{+}R,$$ $$d(Q,R)=Q{M}_{+}+M_{+}R=2\sqrt{5}+M_{+}R$$ である。等距離条件は $M_{+}R-L_{+}R=2\sqrt{5}$ となる。焦点が $L_{+},M_{+}$ で，焦点間距離が10，距離差が $2\sqrt{5}$ の双曲線であるから，式は $${\displaystyle \frac{x^2}{5}}-{\displaystyle \frac{(y-5{)}^2}{20}}=1$$ である。ここで左側の枝だけが現れる。

この双曲線を $$y=5\pm 2\sqrt{x^2-5}$$ と書く。上側の弧は，直線部分 $y=-3x$ との接続点 $(-3,9)$ から頂点 $(-\sqrt{5},5)$ までなので $$-3\leqq x\leqq -\sqrt{5},y=5+2\sqrt{x^2-5}$$ である。下側の弧は，後で出る中央の直線 $y=-x$ との交点まで残る。交点を求めるため，$y=-x$ を下側の式へ代入すると $$-x=5-2\sqrt{x^2-5}$$ である。$x<0$ として解くと $$x=-{\displaystyle \frac{4\sqrt{10}-5}{3}}$$ を得る。そこで $$a={\displaystyle \frac{4\sqrt{10}-5}{3}}$$ とおくと，下側の弧は $$-a\leqq x\leqq -\sqrt{5},y=5-2\sqrt{x^2-5}$$ である。

中央部分では，$P$ からは下左端 $L_{-}$ を，$Q$ からは上右端 $M_{+}$ を回る経路が最短になる。このとき $$d(P,R)=2\sqrt{5}+L_{-}R,d(Q,R)=2\sqrt{5}+M_{+}R$$ であるから，等距離条件は $L_{-}R=M_{+}R$ である。したがって $y=-x$ を得る。この直線部分は，上側の双曲線弧との交点から，下側の対称な双曲線弧との交点までであるから $-a\leqq x\leqq a$ である。

下側は原点に関する対称性により，上側と同様に $${\displaystyle \frac{x^2}{5}}-{\displaystyle \frac{(y+5{)}^2}{20}}=1$$ の右側の枝が現れる。具体的には $$\sqrt{5}\leqq x\leqq a,y=-5+2\sqrt{x^2-5}$$ および $$\sqrt{5}\leqq x\leqq 3,y=-5-2\sqrt{x^2-5}$$ である。

以上より求める軌跡は，次の部分の和である。 $$y=-3x(x\leqq -3,x\geqq 3),$$ $${\displaystyle \frac{x^2}{5}}-{\displaystyle \frac{(y-5{)}^2}{20}}=1\text{の上で示した2つの弧},$$ $$y=-x(-a\leqq x\leqq a),a={\displaystyle \frac{4\sqrt{10}-5}{3}},$$ $${\displaystyle \frac{x^2}{5}}-{\displaystyle \frac{(y+5{)}^2}{20}}=1\text{の上で示した2つの弧}\mathrm{.}$$ 図では，左上から $y=-3x$ の半直線，焦点 $L_{+},M_{+}$ の双曲線弧，中央の線分 $y=-x$，焦点 $L_{-},M_{-}$ の双曲線弧，右下の $y=-3x$ の半直線を順につなぐ。

平面を「直線で見通せる領域」「上端を回る領域」「下端を回る領域」
に分け、それぞれで $d(P,R)-d(Q,R)$ を1本の式にする。等高線0を
求めると直線または双曲線になり、候補同士の距離が等しくなる
接続点で有効な弧だけを切り出せる。

端点を$$L_{\pm }=(-5,\pm 5),M_{\pm }=(5,\pm 5)$$と置き、$$a={\displaystyle \frac{4\sqrt{10}-5}{3}}$$とする。線分障害物を避ける最短折れ線は、曲がるなら必ず
$L_{\pm },M_{\pm }$ のいずれかで曲がる。したがって各領域で有効な
端点経路を比較すればよい。

両点から $R$ が直線で見通せる外側では$$d(P,R)=PR,d(Q,R)=QR\mathrm{.}$$等距離線は $PQ$ の垂直二等分線 $y=-3x$ であり、有効部分は
$x\leqq -3$ と $x\geqq 3$ である。

上側を回る領域では$$d(P,R)=4\sqrt{5}+L_{+}R,d(Q,R)=2\sqrt{5}+M_{+}R\mathrm{.}$$よって$$M_{+}R-L_{+}R=2\sqrt{5},{\displaystyle \frac{x^2}{5}}-{\displaystyle \frac{(y-5{)}^2}{20}}=1.$$この左枝のうち有効なのは$$\{\begin{array}{ll}y=5+2\sqrt{x^2-5},& -3\leqq x\leqq -\sqrt{5},\\ y=5-2\sqrt{x^2-5},& -a\leqq x\leqq -\sqrt{5}\mathrm{.}\end{array}$$第1の端点 $(-3,9)$ は $y=-3x$ との交点である。第2の端点
$(-a,a)$ は $y=-x$ との交点であり、代入して得る
$3a^2+10a-45=0$ の正根が上の $a$ である。

中央では最短経路が $P$ 側で $L_{-}$、$Q$ 側で $M_{+}$ を通る。
$P{L}_{-}=Q{M}_{+}=2\sqrt{5}$ だから$$d(P,R)=d(Q,R)⟺L_{-}R=M_{+}R⟺y=-x\mathrm{.}$$有効部分は $-a\leqq x\leqq a$ である。

下側は原点対称であり、有効な2弧は$$\{\begin{array}{ll}y=-5+2\sqrt{x^2-5},& \sqrt{5}\leqq x\leqq a,\\ y=-5-2\sqrt{x^2-5},& \sqrt{5}\leqq x\leqq 3.\end{array}$$以上の2半直線、4双曲線弧、1線分の和が求める軌跡である。