東京大学 1994年度 後期日程 第2次学力試験理系（後期）数学 第1問

(1) $$[m,m-1,\dots ,1{]}_m=\sum _{k=1}^{m}k\cdot k!=\sum _{k=1}^m\{(k+1)!-k!\}=(m+1)!-1$$であるから、所要の等式が成り立つ。

(2) 正の整数 $N$ に対し、$m!\leqq N<(m+1)!$ となる $m$ を選ぶ。整数の除法により$$N=a_{m}m!+R_m,0\leqq R_m<m!$$とする。上の範囲から $1\leqq a_m\leqq m$ である。次に $R_m$ を $(m-1)!$ で割り、この操作を $1!$ まで続けると$$N=a_{m}m!+a_{m-1}(m-1)!+\cdots +a_{1}1!,0\leqq a_k\leqq k$$を得るので表示は存在する。各段階の商と余りは整数の除法によりただ一通りであるから、表示も一意である。

(3) $$n=5q+r(0\leqq r\leqq 4)$$ とおく。書いていない下位桁を0とすれば$${\displaystyle \frac{n!}{5}}=\{\begin{array}{ll}[q,0,\dots ,0{]}_{n-1},& r=0,\\ [q,q,0,\dots ,0{]}_{n-1},& r=1,\\ [q,2q,2q,0,\dots ,0{]}_{n-1},& r=2,\\ [q,3q+1,q,q,0,\dots ,0{]}_{n-1},& r=3,\\ [q,4q+2,2q,4q,4q,0,\dots ,0{]}_{n-1},& r=4.\end{array}$$実際、$n!\mathrm{/}5=(q+r\mathrm{/}5)(n-1)!$ に (2) の除法を順に適用すればこの桁列を得る。例えば $r=3$ の下位への余りは ${\displaystyle \frac{1}{5}}(n-2)!,{\displaystyle \frac{1}{5}}(n-3)!,0$ と続き、$r=4$ でも同様に計算できる。各桁は対応する上限以下である。

階乗進法の桁上限を使って、存在は最大桁からの除法、一意性は最上位の相違から示す。(3)は $n=5q+r$ として余りを下位桁へ送る。

(1) $$k\cdot k!=(k+1)!-k!$$なので、$k=1,\dots ,m$ について加えると$$\sum _{k=1}^{m}k\cdot k!=(m+1)!-1.$$右辺は $[1,0,\dots ,0{]}_{m+1}-1$ である。

(2)
$m!\leqq N<(m+1)!$ を満たす $m$ を選び、$N$ を $m!$、
$(m-1)!,\dots ,1!$ で順に割る。各商を $a_m,a_{m-1},\dots ,a_1$
とすれば、余りが次の階乗未満なので $0\leqq a_k\leqq k$ となり、
$a_m\mathrm{\ne }0$ である。これで存在が分かる。

一意性は最上位の異なる桁を $j$ として示せる。2つの表示の差では、
第 $j$ 桁の差の絶対値は少なくとも $j!$ である。一方、それより下の
桁で打ち消せる最大値は (1) より$$\sum _{k=1}^{j-1}k\cdot k!=j!-1$$にすぎない。矛盾だから表示は一意である。

(3) $$n=5q+r(0\leqq r\leqq 4)$$ とする。省略した末尾はすべて0と約束すれば$${\displaystyle \frac{n!}{5}}=\{\begin{array}{ll}[q,0,\dots ,0{]}_{n-1}& (r=0),\\ [q,q,0,\dots ,0{]}_{n-1}& (r=1),\\ [q,2q,2q,0,\dots ,0{]}_{n-1}& (r=2),\\ [q,3q+1,q,q,0,\dots ,0{]}_{n-1}& (r=3),\\ [q,4q+2,2q,4q,4q,0,\dots ,0{]}_{n-1}& (r=4)\mathrm{.}\end{array}$$これは$${\displaystyle \frac{n!}{5}}=(q+{\displaystyle \frac{r}{5}})(n-1)!$$から始め、分数部分に $(n-1)=5q+r-1$ を掛けて次の桁へ送れば順に得られる。
例えば $r=4$ では分数部分の分子が$$4,2,4,4,0$$と移り、上の5桁になる。各桁はそれぞれの桁番号以下であり、(2)の一意性から
これが求める表示である。